die Teilmengenrelation ⊆ auf der Potenzmenge P(M) eine partielle Ordnung, aber keine totale Ordnung …

Question

Sei M eine Menge mit |M| ≥ 2

zeigen Sie, dass die Teilmengenrelation ⊆ auf der Potenzmenge P(M)  eine partielle Ordnung, aber keine totale Ordnung darstellt.

Meine Überlegungen dazu:

i) eine partielle Ordnung:  dh. folgendes gilt:   1. Reflexivität 2.Antisymmetrie  3. Transitivität

ii) aber keine totale Ordnung, folgendes gilt : keine Totalität

wie es weitergeht ?

Answer 1

i) eine partielle Ordnung: dh. folgendes gilt: 1. Reflexivität

 Jede Menge ist Teilmenge von sich.

 2.Antisymmetrie

wenn A⊆B und B⊆A   dann  A=B

3. Transitivität   wenn A⊆B und B⊆C   dann  A⊆C   

ii) aber keine totale Ordnung, folgendes gilt : keine Totalität
wegen |M|≥2 gibt es x∈M nund y∈M  und  x≠y

Dann  gilt weder {x}⊆{y}   noch   {y}⊆{x},

also nicht total.