Gilt die folgende Aussage?

Question

Aufgabe: Gilt die folgende Aussage?

Problem/Ansatz: Gilt die Aussage "für alle ∼∈ ae(A) und ≈∈ ae(B) mit ae(A):={∼ | ∼ist eine Äquivalenzrelation auf A} und ae(B):={∼ | ∼ist eine Äquivalenzrelation auf B} wird durch (a,b)(∼‖≈)(a′,b′):⇐⇒(a∼a′&b≈b′) eine Äquivalenzrelation ∼‖≈ auf AxB definiert."?

Anbei seien ∼ und ≈ Äquivalenzrelationen auf A und für a und b gelte (a,a′∈A, b,b′∈B).

Comments

Man untersucht die gegebene Relation auf die einzelnen Eigenschaften

Reflexiv: Gilt (a,b) ∼‖≈ (a,b) für alle a,b?

Ja, denn

(a,b) ∼‖≈ (a,b)  ⇔  a~a und  b≈b

Und a~a und b≈b gilt wegen der Reflexivität der Äquivalenzrelationen ~ und ≈.

Symmetrie: Gilt falls (a,b) ∼‖≈ (a',b') auch (a',b') ∼‖≈ (a,b)?

Sei (a,b) ∼‖≈ (a',b') ⇒ a ~ a' und b ≈ b'

Symmetrie der Äquivalenzrelationen ~ und ≈ anwenden

⇒ a' ~ a und b' ≈ b

Definition anwenden

⇒ (a',b') ∼‖≈ (a,b)

Somit ist ∼‖≈ auch symmetrisch

Transitivität: ...