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Aufgabe:

Seien M,N Mengen, A ⊆ N, M ⊆ P(N) und f : M → N. Zeigen Sie

f(f -1 (A)) ⊆ A

Warum gilt im Allgemeinen keine Gleichheit in der Formel?


Problem/Ansatz:

Wie beweise ich das?

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Hallo,

stimmt der Aufgabentext so. Ich wundere mich über \(M \sube P(N)\)?

Gruß Mathhilf

Ja, darüber war noch ein anderer Aufgaben Teil. Den habe ich schon gelöst, deshalb ist er hier nicht mit aufgeführt.

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo :-)

Du kannst es per Widerspruch zeigen:

Angenommen, es gelte \(f(f^{-1}(A))\not \subseteq A\), d.h. es gibt mindestens ein \(y\in f(f^{-1}(A))\) mit \(y\not \in A\). Wegen \(y\in f(f^{-1}(A))\) ist \(f(w)=y\) für ein \(w\in f^{-1}(A)\). Demnach ist \(f(w)\in A\). Es gilt aber \(y=f(w)\), sodass \(y\in A\). Das ist ein Widerspruch zur Annahme.

Warum gilt im Allgemeinen keine Gleichheit in der Formel?

Betrachte folgendes Beispiel:

$$ f:\underbrace{\{1,2,3\}}_{=:M}\to \underbrace{\{4,5,6\}}_{=:N} $$

mit \(f(1)=4, \quad f(2)=4, \quad f(3)=6\).

Setze nun zb \(A:=\{5\}\). Dann gilt \(f^{-1}(A)=f^{-1}(\{5\})=\{\}\) und man hat \(f(f^{-1}(A))=f(\{\})=\{\}\subseteq A\).

Avatar von 14 k

Ahh, ich verstehe. Vielen lieben Dank für die Antwort. :)

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