Beweis f(f^−1(A)) ⊆ A

Question 1

Aufgabe:

Seien M,N Mengen, A ⊆ N, M ⊆ P(N) und f : M → N. Zeigen Sie

f(f ^-1 (A)) ⊆ A

Warum gilt im Allgemeinen keine Gleichheit in der Formel?

Problem/Ansatz:

Wie beweise ich das?

Question 2

Hallo,

stimmt der Aufgabentext so. Ich wundere mich über $M \sube P(N)$?

Gruß Mathhilf

Question 3

Ja, darüber war noch ein anderer Aufgaben Teil. Den habe ich schon gelöst, deshalb ist er hier nicht mit aufgeführt.

Question 4

Hallo :-)

Du kannst es per Widerspruch zeigen:

Angenommen, es gelte $f(f^{-1}(A))\not \subseteq A$, d.h. es gibt mindestens ein $y\in f(f^{-1}(A))$ mit $y\not \in A$. Wegen $y\in f(f^{-1}(A))$ ist $f(w)=y$ für ein $w\in f^{-1}(A)$. Demnach ist $f(w)\in A$. Es gilt aber $y=f(w)$, sodass $y\in A$. Das ist ein Widerspruch zur Annahme.

Warum gilt im Allgemeinen keine Gleichheit in der Formel?

Betrachte folgendes Beispiel:

$$ f:\underbrace{\{1,2,3\}}_{=:M}\to \underbrace{\{4,5,6\}}_{=:N} $$

mit $f(1)=4, \quad f(2)=4, \quad f(3)=6$.

Setze nun zb $A:=\{5\}$. Dann gilt $f^{-1}(A)=f^{-1}(\{5\})=\{\}$ und man hat $f(f^{-1}(A))=f(\{\})=\{\}\subseteq A$.

Question 5

Ahh, ich verstehe. Vielen lieben Dank für die Antwort. :)

hallo97 · Answer 1 · 2021-11-07T21:16:49+0000

Hallo :-)

Du kannst es per Widerspruch zeigen:

Angenommen, es gelte $f(f^{-1}(A))\not \subseteq A$, d.h. es gibt mindestens ein $y\in f(f^{-1}(A))$ mit $y\not \in A$. Wegen $y\in f(f^{-1}(A))$ ist $f(w)=y$ für ein $w\in f^{-1}(A)$. Demnach ist $f(w)\in A$. Es gilt aber $y=f(w)$, sodass $y\in A$. Das ist ein Widerspruch zur Annahme.

Warum gilt im Allgemeinen keine Gleichheit in der Formel?

Betrachte folgendes Beispiel:

$$ f:\underbrace{\{1,2,3\}}_{=:M}\to \underbrace{\{4,5,6\}}_{=:N} $$

mit $f(1)=4, \quad f(2)=4, \quad f(3)=6$.

Setze nun zb $A:=\{5\}$. Dann gilt $f^{-1}(A)=f^{-1}(\{5\})=\{\}$ und man hat $f(f^{-1}(A))=f(\{\})=\{\}\subseteq A$.

Beweis f(f^−1(A)) ⊆ A

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