Zeigen Sie, dass lim fn(xn) = f(x) für jede gegen x konvergente Folge gilt

Question

Aufgabe:

Es sei (f_n)_n∈N eine Folge stetiger Funktionen f_n : [a, b] → R, die gleichmäßig gegen eine Funktion f : [a, b] → R konvergiert. Zeigen Sie, dass
$\lim\limits_{n\to\infty}$ f_n(x_n) = f(x) für jedes x ∈ [a, b] und jede gegen x konvergente Folge (x_n)_n∈N gilt.

Bleibt die Aussage richtig, wenn nur punktweise Konvergenz vorausgesetzt wird?

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich das zeigen kann

Comments

Hallo,

Du kannst die INfo benutzen, dass f unter der Voraussetzung der gleichmäßigen Konvergenz ebenfalls stetig ist und:

$$|f_n(x_n)-f(x)| \leq |f_n(x_n)-f(x_n)|+|f(x_n)-f(x)|$$

Gruß Mathhilf