Zeigen Sie für A, B \subset M , dass M \backslash A=1+A und A \cup B=A+B+A · B .

Question

Aufgabe:

Übung 3.1. Sei \( M \) eine Menge und \( \mathcal{P}(M):=\{A \mid A \subset M\} \) die Potenzmenge von \( M \), d.h. die Menge aller Teilmengen von \( M . \) Beweisen Sie, dass \( (\mathcal{P}(M),+, \cdot) \) mit
\( A+B:=(A \cup B) \backslash(A \cap B) \text { und } A \cdot B:=A \cap B \)
ein kommutativer Ring mit Eins ist.
)
Übung 3.2. Fortsetzung von \( \ddot{\text { Übung }} \).1:
a) Zeigen Sie für \( A, B \subset M \), dass \( M \backslash A=1+A \) und \( A \cup B=A+B+A \cdot B \).
b) Welche Elemente von \( \mathcal{P}(M) \) haben einen Kehrwert?

Answer 1

Für 3.1 musst du alle Ringaxiome durchgehen.

3.2 Bei 3.1 kam ja schon raus  1 = M.

Also gilt 1 + A = (M∪A) \ (M∩A) = M \ A

Denn A ist ja eine Teilmenge von M, also

M∪A=M  und M∩A= A.

Und das zweite A + B + A·B

    =  ((A∪B) \ (A∩B) )  +  (A∩B)

= ( ((A∪B) \ (A∩B) ) ∪ (A∩B)  )  \   (((A∪B) \ (A∩B) ) ∩ (A∩B)  )

=(  (A∪B) ∪ (A∩B)  )  \   ∅

= A∩B

= A·B

b) Damit A einen Kehrwert hat, muss es ein B geben mit A·B=1

also A·B=M also A∩B = M .

Da beides Teilemengen von M sind, geht das nur für A=B=M,

also ist 1 das einzige Element mit Kehrwert.