Matrizen als Produkte der Form . . .

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die folgenden Matrizen über Q:

A = $$\begin{pmatrix} 4 & 3 & 3 \\ -1 & 0 & -1 \\ -4 & -4 & -3 \end{pmatrix}$$


B = $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \end{pmatrix}$$


(a) Stellen Sie die obigen Matrizen als Produkte der Form $E_{k} \ldots E_{1} \mathrm{I}(m \times n, \ell) E_{1}^{\prime} \ldots E_{k^{\prime}}^{\prime}$ dar, wobei $E_{i} \in \mathrm{GL}_{m}(K)$ und $E_{j}^{\prime} \in \mathrm{GL}_{n}(K)$ Elementarmatrizen sind. Lesen Sie anschließend den Rang der jeweiligen Matrix ab.

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand helfen die Aufgabe zu lösen?

Answer 1

Du könntest mal was zu Deiner Notation sagen $E_{k} \ldots E_{1} \mathrm{I}(m \times n, \ell) E_{1}^{\prime} \ldots E_{k^{\prime}}^{\prime}$ dar, wobei $E_{i} \in \mathrm{GL}_{m}(K)$ ?

Nehme Elementarmatrizen um A zur Einheitsmatrix zu transformieren,

wegen A²= E: ist das eine Matrizenfolge der Umforung von A zur Einheitsmatrix

Zu B mach ich mir eine Art LR Zerlegung, etwa

$\small \left\{ \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\5&1&0&0\\9&2&0&0\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{rrrr}1&2&3&4\\0&-4&-8&-12\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right) =\left(\begin{array}{rrrr}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\\end{array}\right)\right\}$

und zerhacke die in Elementarmatrizen

$\scriptsize \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\5&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\9&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&2&0&0\\\end{array}\right), ...$

$\scriptsize \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&-4\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&-4&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrrr}1&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrrr}1&2&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&2&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right)$

so in etwa, wenn die Aufgabenstellung ist....