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Aufgabe:

Die Bearbeitungszeit eines Studenten für eine Statistikübungsaufgabe sei eine Zufallsvariable X mit dem Wertebereich (0, ∞). Ferner wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit, für eine Aufgabe bis zu s weitere Zeiteinheiten zu brauchen, wenn er bereits mindestens t Zeiteinheiten benötigt hat, gleich der Wahrscheinlichkeit ist, insgesamt höchstens s Zeiteinheiten zu benötigen: P (X ≤ t + s | X ≥ t) = P (X ≤ s).

(a) Zeigen Sie, dass die Exponentialverteilung diese Bedingung erfüllt.

(b) Mit der Annahme einer Exponentialverteilung für X und P (X ≤ 2) = 0.25 berechne man die Dichte und die Verteilungsfunktion.

(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Bearbeitungszeit von mindestens 4 Stunden zu erreichen?

(d) Was sagt die Annahme der Exponentialverteilung für die Bearbeitungszeit der Übungsaufgaben über den Studenten aus

(e) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.

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a) Zeigen Sie, dass die Exponentialverteilung diese Bedingung erfüllt.

Hier mal die grundlegenden Berechnungen der Exponentialfunktion

P(X ≤ x) = 1 - e^(- k·x)
P(X ≥ x) = e^(- k·x)
P(x ≤ X ≤ y) = (1 - e^(- k·y)) - (1 - e^(- k·x)) = e^(- k·x) - e^(- k·y)

Die nehmen wir jetzt um die Bedingung zu zeigen.

P(X ≤ t + s | X ≥ t) = ((e^(- k·t) - e^(- k·(t + s)))) / e^(- k·t) = 1 - e^(- k·s) = P(X ≤ s)

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