Summe, Gleichheit, Beweise

Question

Sei (R, +, ·) ein Ring, n ∈ ℕ und N := {(i, j, k) ∈ ℕ³| i + j + k = n}.
Beweisen Sie, dass wir für alle x, y, z ∈ R die Gleichheit
(x + y + z)ⁿ = \( \sum\limits_{(i,j,k)∈N}^{}{\frac{n!}{i!j!k!}}  x^{i} \) \( y^{j} \) \( z^{k} \)

haben.

Danke im Voraus

Comments

Würde mich auf einen hilfreichen Ansatz freuen. Also ich weiß dass man die Aufgabe mit Induktion lösen soll, aber beim Induktionsanfang kann ich nicht zeigen, dass für n=1 die Gleichheit gilt. Vielleicht kann mir jemand da helfen.

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Hallo,

zum Induktionsanfang: Ist Dir klar, wie die Summe aufgebaut ist? Man betrachtet alle Tripel (i,j,k) mit der Eigenschaft i+j+k=1 (offenbar gehört 0 mit zu den natürlichen Zahlen). Das heißt wir haben nur die Tripel (1,0,0), (0,1,0),(0,0,1). Damit steht links wie rechts: x+y+k.

Gruß Mathhilf