Sei (R, +, ·) ein Ring, n ∈ ℕ und N := {(i, j, k) ∈ ℕ3| i + j + k = n}.Beweisen Sie, dass wir für alle x, y, z ∈ R die Gleichheit(x + y + z)n = \( \sum\limits_{(i,j,k)∈N}^{}{\frac{n!}{i!j!k!}} x^{i} \) \( y^{j} \) \( z^{k} \)
haben.
Danke im Voraus
Würde mich auf einen hilfreichen Ansatz freuen. Also ich weiß dass man die Aufgabe mit Induktion lösen soll, aber beim Induktionsanfang kann ich nicht zeigen, dass für n=1 die Gleichheit gilt. Vielleicht kann mir jemand da helfen.
Hallo,
zum Induktionsanfang: Ist Dir klar, wie die Summe aufgebaut ist? Man betrachtet alle Tripel (i,j,k) mit der Eigenschaft i+j+k=1 (offenbar gehört 0 mit zu den natürlichen Zahlen). Das heißt wir haben nur die Tripel (1,0,0), (0,1,0),(0,0,1). Damit steht links wie rechts: x+y+k.
Gruß Mathhilf
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