Gleichheit des Betrags. Beweise, dass b) |xy|=|x||y| für alle x,y

Question

Hi, kann mir jemand sagen, warum diese Gleichheit so "komplex" bewiesen wurde? Es reicht doch ganz einfach die Definition zu nutzen (zwei Fälle zu untersuchen für x>=0 und x<0). Außerdem verstehe ich, den letzten Schritt nicht (|-1|=1).

a) |x|>=0 für alle x
b) |xy|=|x||y| für alle x,y

Comments

> Es reicht doch ganz einfach die Definition zu nutzen

Welche Definition? Ich sehe in deinem Beitrag keine Definition.

Es gibt unterschiedliche Wege, den Betrag einer Zahl zu definieren. Es gibt unterschiedliche Wege, zu definieren, was denn überhaupt eine Zahl ist. Die Wege unterscheiden sich dadurch, welche Sachverhalte einfach aufgrund der Definition gelten und welche Sachverhalte durch logische Schlussfolgerungen gezeigt werden müssen.

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EDIT: Ich habe die Frage mal gemeldet, da unvollständig. ( Vielleicht folgt ja noch ein Nachtrag). Nochmals die Frage: Welche Definitionen habt ihr gemacht?

Answer 1

Ich versuche mal zu interpretieren:

Def. war:   Für alle x aus R wird definiert |x| durch
a) |x|>=0 für alle x
b) |xy|=|x||y| für alle x,y

Behauptung:      Für alle x aus R gilt | - x| = |x|

(Dann würde der letzte Satz des Beweises etwas Sinn machen.)

@Gast hh1833:   Wenn das so gemeint war, kannst du nat. nicht mit Fallunterscheidungen

arbeiten, da zunächst mal für x<0 nichts definiert ist und auch für x≥0 kein
Wert unmittelbar festgelegt ist. Anders als bei der "klassischen" Betragsdef.

|x| = x für  x≥0  und    |x| = - x für  x<0 .