Lineare Unabhängigkeit bestimmen, R als Vektorraum

Question

kann mir einer bitte bei der folgenden Aufgabe helfen?

Sei die Menge der reellen Zahlen ℝ ein Vektorraum über dem Körper der rationalen Zahlen ℚ. Beweisen Sie, dass die "Vektoren" 1, √2 und √3 aus ℝ über ℚ linear unabhängig sind.

Ich verstehe hier nicht, wie eine Zahl ein Vektor sein kann und dann, dass sie linear unabhängig sind.

Answer 1

"verstehen" ist hier auch schwierig. "Vektoren" sind alle Objekte, bei

denen eine Addition und S-Multiplikation mit Elementen eines Körpers so

definiert ist, dass die Vektorraumaxiome erfüllt sind.

Das geht z.B. auch mit Polynomen und eben auch, wenn ℚ der Körper ist

und die "Vektoren" die Elemente von ℝ .

Und linear unabhängig bedeutet dann ja:

Wenn eine Linearkombination der gegebenen Vektoren gleich dem

Nullvektor ist, dann geht das nur, wenn alle Koeffizienten 0 sind.

Hier wäre das so: Es seien x,y,z AUS ℚ ! mit

x*1  +y*√2 + z*√3 = 0 

Dann folgt ja x=y=z=0 , also ist das erfüllt und die

drei sind lin. uabh.

Comments

Okay dankeschön!

Einen Schritt verstehe ich aber nicht, also, dass aus x*1+y*√2+z*√3 x=y=z=0 folgt.

Wenn ich die Gleichung nach x löse, kommt ja x=-√2y-√3z raus