Funktion ableiten Steckbriefaufgabe

Question

Aufgabe: leiten die gesuchte Funktionsgleichung:

Gesicht ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades, deren Graph an der Stelle x=-1 eine Nullstelle hat, die y Achse an der Stelle y=2 schneidet und die x Achse an der Stelle x=2 berrührt

Danke !

Answer 1

"Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades, deren Graph an der Stelle x=-1 eine Nullstelle hat, die y Achse an der Stelle y=2 schneidet und die x Achse an der Stelle x=2 berührt."

Nullstellenform der kubischen Parabel:

x=-1 eine Nullstelle (einfache Nullstelle) und Berührung B(2|0) (doppelte Nullstelle) 

f(x)=a*(x+1)(x-2)^2

Schnitt mit y-Achse P(0|2)

f(0)=a*(0+1)(0-2)^2

a*(0+1)(0-2)^2=2

4a=2→a=\( \frac{1}{2} \)

f(x)=\( \frac{1}{2} \)*(x+1)(x-2)^2

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Es gibt eine Nullstelle bei \(x=-1\), d.h. Funktionsterm hat den Linearfaktor \((x+1)\)

Bei \(x=2\) wird die \(x\)-Achse "berührt", d.h. es gibt den "doppelten" Linearfaktor \((x-2)^2\)

Die Funktion sieht also so aus:$$f(x)=a\cdot(x+1)\cdot(x-2)^2$$

Die \(y\)-Achse wird am Punkt \((0|2)\) geschnitten:$$2=f(0)=a\cdot1\cdot(-2)^2=4a\implies a=\frac12$$

Die gesuchte Funktion lautet also:$$f(x)=\frac12(x+1)(x-2)^2$$

~plot~ 1/2*(x+1)*(x-2)^2 ; {-1|0} ; {2|0} ; {0|2} ;[[-2|4|-3|3]] ~plot~

Answer 3

Hi,

dafür musst Du erstmal genügend Bedingungen aufstellen.

Allgemein lautet eine Funktion dritten Grades \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d \)

Wir haben also vier Unbekannte. Entsprechend brauchen wir vier Bedingungen:

f(-1) = 0 (An der Stelle x = -1 haben wir eine Nullstelle)
f(0) = 2  (y-Achsenschnittpunkt)
f(2) = 0  (Punkt mit der x-Achse x = 2)
f'(2) = 0  (Berühren mit der x-Achse bei x = 2)

Aus f(0) = 2 kann man direkt d = 2 auslesen und es ergibt sich:

-a + b - c + 2 = 0
8a + 4b + 2c + 2 = 0
12a + 4b + c = 0

--> f(x) = 0,5x³ - 1,5x² + 2

Grüße