x³-6x²+9x-4 Kurvendiskussion stimmt meine Kurvendiskussion?

Question

Polynomdivision: 

(x³-6x²+9x-4) : (x-1)= x²-5x+4 
x³ -x²
___
    -5x²+9x
    -5x+5x
   ______ 
            4x-4 
            4x-4 
         _____
           0   0 

1) Nullstellen: 

x_1,2=5/2±√(5/2)²-4

x_1,2=-2,5±1,5 

x₁= -1 
x₂=-4 

2) Extrempunkte: 

f'(x)=2x-5=0 |+5

      =2x   =+5 |:2

      =  x= 2,5 

Damit in die zweite Ableitung: 

f''(x)= 2 

f''(2,5)= 2  (Komme leider hier nicht mehr weiter) :(

Unnd woher weiß man den Definitionsbereich und den Wertebereich?  

Und wie rechnet man hier die Wendestellen aus? (Bitte diese ausführlich erklären) 

Grüße  :) 
 

Answer 1

Huhu Emre,

 

Nullstellen:

Die Nullstellen sind fast richtig. In der letzten Zeile hast Du Dich vertan

x_1,2=5/2±√(5/2)²-4

x_1,2=2,5±1,5 

x₁= 1 
x₂=4

Vergiss nicht die erste Nullstelle. Die Du bei der Polynomdivsion als Divisor verwendet hast!

Es kommt also nochmals x₃ = 1 hinzu (braucht man nicht extra hinschreiben, da hier x₃ = x₁, aber damit Du es generell nicht vergisst!)

 

Extrempunkte:

Leider nicht. Die Polynomdivision nutze alleine für die Nullstellen. Nun arbeite aber wieder mit f(x) selbst.

f(x) = x³-6x²+9x-4

f'(x) = 3x^2-12x+9

f''(x) = 6x-12

Nun f'(x) = 3x^2-12x+9 = 0

x^2-4x+3 = 0   |pq-Formel

x₁ = 3 und x₂ = 1

(Letzteres wussten wir ja schon wegen der doppelten Nullstelle^^)

Damit in die zweite Ableitung und dann in f(x):

T(3|-4) und H(1|0)

 

Wendepunkte:

f''(x) = 6x-12

f'''(x) = 6

f''(x) = 6x-12 = 0

x = 2

Damit nun in die dritte Ableitung. Diese muss ≠0 sein. Da f'''(2) = 6 ≠ 0 passt das.

Wir haben also tatsächlich eine Wendestelle vorliegen. Ab damit in die ursprüngliche Funktion.

f(2) = -2

W(2|-2)

 

Definitionsbereich:

Überlege Dir: "Was darf x sein, damit es keine Probleme gibt".

Da es hier keine Wurzel gibt (nur nichtnegative Zahlen im Radikanden erlaubt) oder nicht durch x dividiert wird (es darf nicht durch 0 geteilt werden) ist hier wieder alles erlaubt.

D = ℝ

 

Wertebereich:

Überlege Dir: "Was darf y sein".

Das Verhalten im Unendlichen ist lim_x->-∞ f(x) = -∞ und lim_x->∞ f(x) = ∞, und es gibt keine Problemstellen. Somit kann y jeden Wert annehmen -> W = ℝ.

 

Alles klar?

Grüße

Comments

Hallo Unknown :)
Ok wieder einmal SUPER Antwort!!! ich habs jetzt verstanden, also auch mit Funktionen des dritten gerades (also wie man bei denen eine Kurvendiskussion macht) danke danke danke für deine Antworten und immer dass du mir hilfst!!!!!)
PS: Glückwunsch zum Monatsbeste :D (Mitarbeiter des Monats^^) haha kenn ich noch von Spongebob ^^

Answer 2

Kurvendiskussion: x^3 - 6·x^2 + 9·x - 4

 

Funktion und Ableitungen

 

f(x) = x^3 - 6·x^2 + 9·x - 4

f'(x) = 3·x^2 - 12·x + 9

f''(x) = 6·x - 12

 

Definitionsbereich und Wertebereich

 

Definitionsbereich: D = R

Wertebereich: W = R [nach Berechnung der Grenzwerte]

 

Grenzwerte im Unendlichen

 

lim (x →-∞) f(x) = -∞

lim (x → ∞) f(x) = ∞

 

Y-Achsenabschnitt f(0)

 

f(x) = - 4

 

Nullstellen f(x) = 0

 

x^3 - 6·x^2 + 9·x - 4 = 0

(x - 4)·(x - 1)^2 = 0

x = 1 [doppelte Nullstelle] oder x = 4

 

Extrempunkte f'(x) = 0

 

3·x^2 - 12·x + 9 = 0

x = 1 oder x = 3

 

f(1) = 0 [Hochpunkt]

f(3) = -4 [Tiefpunkt]

 

Wendepunkte f''(x) = 0

 

6·x - 12 = 0

x = 2

 

f(2) = -2

 

Skizze

Comments

Hallo Mathecoach :)
Vielen vielen dank auch an dich :)