Aufgabe:
…Es seien a1, . . . , an ∈ Z mit n ≥ 2.
Sei g = ggT(a1, . . . , an). Ohne Beweis dürfen Sie im folgenden verwenden, dass dann gilt
{g · z|z ∈ Z} = {a1 · z1 + . . . + an · zn|z1, . . . , zn ∈ Z}. Also zum Beispiel {3 · z|z ∈ Z} =
{6 · z1 + 15 · z2|z1, z2 ∈ Z}.
(a) Zeigen Sie, dass die diophantische Gleichung a1 · x1 + . . . + an · xn = b mit b ∈ Z genau
dann eine Lösung (x1, . . . , xn) ∈ Z
n besitzt, wenn gilt ggT(a1, . . . , an)|b.
Hinweis: Verwenden Sie die oben erwähnte Aussage.
(b) Zeigen Sie, dass ggT(a1, . . . , an) = ggT(ggT(a1, . . . , an−1), an), falls n > 2.
