Integral berechnen mit Hilfe einer Transformation

Question

Sei $B \subset \mathbb{R}^{2}$ die Menge im ersten Quadrant $(x, y>0)$ mit $1 \leq x y \leq 2$ und $1 \leq \frac{y}{x} \leq 2$.

Berechnen Sie

$\int \limits_{B} y d(x, y)$
indem Sie das Integral erst auf die Koordinaten $u=x y$ und $v=\frac{y}{x}$ transformieren.

Leider fehlt mir bei der Aufgabe der Ansatz. Kann mir jemand die Aufgabe erklären?

Answer 1

Aloha :)

$$I=\int\limits_By\,d(x;y)=?\quad;\quad B\coloneqq\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\bigg|\,1\le xy\le2\;\land\;1\le\frac yx\le2\;\land\;x,y>0\}$$Wir substituieren wie folgt:$$u\coloneqq xy\;;\;v\coloneqq\frac yx\quad\implies\quad y=\sqrt{uv}\;;\;u\in[1|2]\;;\;v\in[1|2]$$Wir müssen uns noch überlegen, um welchen Faktor der Übergang von $(x;y)$ zu $(u;v)$ das Flächenelement verzerrt. Dazu bilden wir die Funktionaldeterminante:$$\frac{\partial(u;v)}{\partial(x;y)}=\left|\begin{array}{cc}u_x & u_y\\v_x & v_y\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}y & x\\-\frac{y}{x^2} & \frac1x\end{array}\right|=y\cdot\frac1x+\frac{y}{x^2}\cdot x=2\,\frac yx=2v$$Damit können wir das Integral wie folgt formulieren:$$I=\int\limits_{u=1}^2\;\int\limits_{v=1}^2\underbrace{\sqrt{uv}}_{=y}\cdot\underbrace{\frac{du\,dv}{2v}}_{=dx\,dy}=\int\limits_{u=1}^2\sqrt u\,du\cdot\int\limits_{v=1}^2\frac{1}{2\sqrt v}\,dv=\left[\frac23u^{3/2}\right]_1^2\left[\sqrt v\right]_1^2$$$$\phantom{I}=\frac{2}{3}\left(2\sqrt2-1\right)\left(\sqrt2-1\right)=\frac{2}{3}\left(4-\sqrt2-2\sqrt2+1 \right)=\frac{2}{3}\left(5-3\sqrt2\right)$$$$\phantom{I}\approx0,5049$$

Comments

Vielen für deine Antwort

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Hallo,

sagt die Transformation des Flächenelements nicht eher

$$du\;dv=2v \; dx \; dy$$

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Oha Danke! Ein Flüchtigkeits-Bug... habe ihn korrigiert.