Aloha :)
Wir sollen das Integral über die Punktmenge$$E\coloneqq\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,x+y\le2\;;\;x\ge0\;;\;y\ge0\}$$der Funktion \(f(x;y)=e^{(x+y)^2}\) bestimmen. Dazu sollen wir substituieren:$$x=u-v\quad;\quad y=v$$
Die Intervalle für die neuen Variablen \(u\) und \(v\) folgen aus den Bedingungen an \(x\) und \(y\).$$x\ge0\implies u-v\ge0\implies u\ge v$$$$y\ge0\implies v\ge0$$$$0\le x+y\le2\implies 0\le(u-v)+v\le2\implies0\le u\le2$$Damit haben wir die Integrationsintervalle:\(\quad u\in[0;2]\;;\;v\in[0;u]\)
Das Flächenelement müssen wir ebenfalls transformieren:$$\frac{dx\,dy}{du\,dv}=\left|\begin{array}{rr}\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[1ex]\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rr}1 & -1\\[1ex]0 & 1\end{array}\right|=1\implies dx\,dy=du\,dv$$
Damit gehen wir zum gesuchten Integral:$$I=\int\limits_Ee^{(x+y)^2}\,dx\,dy=\int\limits_{u=0}^2\;\int\limits_{v=0}^ue^{((u-v)+v)^2}\,du\,dv=\int\limits_{u=0}^2\left(\;\;\int\limits_{v=0}^ue^{u^2}\,dv\right)\,du$$$$\phantom I=\int\limits_{u=0}^2\left[v\cdot e^{u^2}\right]_{v=0}^udu=\int_{u=0}^2u\cdot e^{u^2}\,du=\left[\frac{e^{u^2}}{2}\right]_{u=0}^2=\frac{e^4-1}{2}$$
