Hallo!
Könnte mir jemand eine kurze Rückmeldung geben, ob die Rechnung so stimmt? Meine Studienkollegen haben komplett ein anderes Ergebnis rausbekommen. Deswegen würde mich jetzt interessieren, ob meine Berechnung so korrekt ist. Außerdem würde mich noch interessieren, ob die Reihenfolge der Integrale auch richtig ist.
Aufgabe:
(4) Kegel \( R=1 \quad h=1 \) (0/0) Spitze
\( \begin{array}{c} \int \limits_{k} z d(x, y, z) \quad z=1 \\ \psi(r, \phi, z)=\left(\begin{array}{c} x(r, \phi) \\ y(r, \phi) \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} r \cdot \cos (\phi) \\ r \cdot \sin (\phi) \\ z \end{array}\right) \\ K \psi\left(R^{*}\right) \\ 0 \leq z<1,0 \leq r \leq z, 0 \leq \phi \leq 2 \pi \quad \mathbb{R}^{3} \end{array} \)
Problem/Ansatz:
(1)
\( \begin{array}{l} \int \limits_{k} z d(x, y, z) \\ \psi(r, \phi, z)=\left(\begin{array}{l} x(r, \phi) \\ y(r, \phi) \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} r \cos (\phi) \\ r \sin (\phi) \\ z \end{array}\right) \\ 0 \leqslant z<1,0 \leqslant r<z, 0 \leqslant \phi<2 \pi \\ \int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{0}^{1} \int \limits_{0}^{z} z \cdot d r d z d \phi= \\ J \psi=\left(\begin{array}{ccc} \cos (\phi) & -r \sin (\phi) & 0 \\ \sin (\phi) & r \cos (\phi) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\ |J \psi|=\left|r \cos ^{2}(\phi)+r \sin ^{2}(\phi)\right|=|r|=r \\ \int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{0}^{1} \int \limits_{0}^{z} z \cdot r d r d z d \phi=\int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{0}^{1} z \cdot\left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{z} d z d \phi= \\ \int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{0}^{1} z \cdot\left[\frac{z^{2}}{2}-\frac{0}{2}\right] d z d \phi=\int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{0}^{1} \frac{z^{3}}{2} d z d \phi \\ \int \limits_{0}^{2 \pi}\left[\frac{z^{4}}{8}\right]_{0}^{1} d \phi=\left[\frac{1}{8}\right] \cdot[\phi]_{0}^{2 \pi}= \\ =\frac{1}{8} \cdot 2 \pi=\frac{\pi}{4} \\ \end{array} \)
