Bestimmen Sie alle stationären Punkte von f und klassifizieren Sie diese

Question

Aufgabe:

Die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) sei definiert durch
\( f\left(x_{1}, x_{2}\right):=\frac{1}{3} x_{2}^{3}+\frac{1}{2} x_{1}^{2}-\frac{3}{2} x_{2}^{2}-x_{1}+2 x_{2}+4 \)
Bestimmen Sie alle stationären Punkte von \( f \) und klassifizieren Sie diese, d. h. untersuchen Sie bei jedem dieser Punkte, ob es sich um eine lokale Minimalstelle, eine lokale Maximalstelle oder einen Sattelpunkt handelt. Prüfen Sie zudem für jede lokale Extremstelle von \( f \), ob diese eine (,,globale") Extremstelle ist.

Answer 1

partielle Ableitungen sind (mit xy statt x1x2)

f_x= x-1    und f_y=y^2 -3y + 2

Also sind die 0 für x=1 und (  y=1 oder y=2)

==> 2 stationäre Punkte (1;1)  und (1;2).

Hessematrix ist

       1         0
       0       2y-3

also bei (1;1) ist es

     1        0
   0        -1      hat Det = -1 , also indefinit,

also ist (1;1) ein Sattelpu.

und bei (1;2) ist es

  1        0
  0        1      hat Det = 1  und oben links ist 1>0 , also pos. definit,

Damit ist dort ein lok. Minimum.    Mit f(1,2)=  25/6

Das ist nicht global, weil z.B. f(0,0) kleiner ist.