0 Daumen
752 Aufrufe

Aufgabe:
Für die Funktion fC0([0,+)) f \in C^{0}([0,+\infty)) existiere das uneigentliche Integral 0fdt \int \limits_{0}^{\infty} f d t . Zeigen Sie, dass dann die Funktion

F(x) : =xf(t)dt,x[0,+) F(x):=-\int \limits_{x}^{\infty} f(t) d t, \quad x \in[0,+\infty)
eine Stammfunktion von f f auf [0,+) [0,+\infty) definiert.


Problem/Ansatz:

Üb5.42.JPG


Ulenkgung F(x) F(x) is Starmpunklion van f f , uenn F(x)=f(x) F^{\prime}(x)=f(x) and DefeniAionderich Df=DF.2 D_{f}=D_{F} .2 . Bedingung ist per Vorrawnabung gegelen.
f f id retig und es exitic unagentlichs Dnegral 0fdt,abσlimxbaax \int \limits_{0}^{\infty} f d t, a b \sigma \lim \limits_{x \rightarrow b-a} \int \limits_{a}^{x}

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

F(x)=limh0F(x+h)F(x)h=limh0x+hf(t)dt+xf(t)dth=limh0xx+hf(t)dth=hf(ξ)h=f(ξ) F'(x) = \lim_{ h \to 0 } \frac{ F(x+h) - F(x) } { h } = \lim_{ h \to 0 } \frac{ - \int_{ x + h }^\infty f(t) dt + \int_{ x }^\infty f(t) dt } { h } = \lim_{ h\to 0 } \frac{ \int_{ x }^{ x + h } f(t) dt } { h } = \frac{ h f( \xi ) } { h } = f(\xi) mit ξ[x,x+h] \xi \in [x , x + h ] nach dem Zwischenwertsatz der Integralrechnung.

Avatar von 39 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage