LGS mithilfe Inverser Matrix lösen

Question

Aufgabe:

Lösen sie das lineare Gleichungssystem A • x = (11-1-1) mit Hilfe der inversen Matrix A^-1. Machen sie die Probe !

Problem/Ansatz:

Hallo, ich weiss echt nicht wie man diese Aufgabe lösen soll. Ich würde mich über jede Hilfe freuen. Die Aufgabe (i) hab ich schon gelöst.

VG

Text erkannt:

Aufgabe 1:
(i) Zeigen Sie, dass die Matrix \( A=\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 3\end{array}\right) \) invertierbar ist und berechnen Sie \( A^{-1} \)
(ii) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem \( A \cdot x=\left(\begin{array}{r}1 \\ 1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right) \) mit Hilfe der inversen Matrix \( A^{-1} \). Machen Sie die Probe!

Comments

Wenn du \(A^{-1}\) bereits berechnet hast, musst du doch nur noch \(x=A^{-1}\cdot\small\begin{pmatrix}1\\1\\-1\\-1\end{pmatrix}\) ausrechnen.

Answer 1

ii)

A * x = v

lösen wir nach x auf

x = A^{-1} * v

Dann die Probe machen und A * x berechnen und zeigen das v heraus kommt-

Answer 2

Aloha :)

Hier ist das Problem offensichtlich, wie man die inverse Matrix berechnet. Dazu scheibst rechts neben die zu invertierende Matrix eine Einheitsmatrix. Dann bringst du die linke Matrix durch Gauß-Operationen auf die Form einer Einheitsmatrix und wiederholst die dazu nötigen Schritte an rechten Matrix. Danach steht rechts die inverse Matrix:

$$\begin{array}{rrrr|rrrr|l}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -\text{Zeile 2}\\0 & 1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & \\2 & 2 & 3 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 & -2\cdot\text{Zeile 1}\\0 & 1 & 1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 & -\text{Zeile 4}\\\hline1 & 0 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & \\0 & 1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 &-\text{Zeile 3}\\0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & \\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & \\\hline1 & 0 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 &+\text{Zeile 4} \\0 & 1 & 0 & 1 & 2 & 1 & -1 & 0 &-\text{Zeile 4}\\0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & -\text{Zeile 4}\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & \\\hline1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 1 & \\0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 2 & -1 & -1 &\\0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 1 & -1 &\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & \end{array}$$Damit haben wir nicht nur die Inverse gefunden, sondern auch gezeigt, dass die Matrix invertierbar ist, denn andernfalls hätten wir links keine Einheitsmatrix erhalten können.

Die Lösung des Gleichungssystems lautet nun:

$$\vec x=A^{-1}\left(\begin{array}{r}1\\1\\-1\\-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrrr}1 & -2 & 0 & 1\\2 & 2 & -1 & -1\\-2 & 1 & 1 & -1\\0 & -1 & 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}1\\1\\-1\\-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}-2\\6\\-1\\-2\end{array}\right)$$

Die Probe überlasse ich dir ;)