Zeigen Sie: lim n→∞ (1/ n-te √n!) = 0

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie: lim_n→∞  (1/ n-te √n!) = 0.

Hinweis: Verwenden Sie die die Abschätzung n! ≥ (n/2)^n/2 

Answer 1

Aloha :)

Mit dem Tipp können wir folgende Abschätzung durchführen$$n!\ge\left(\frac n2\right)^{\frac n2}\implies\sqrt[n]{n!}=\left(n!\right)^{\frac 1n}\ge\left(\left(\frac n2\right)^{\frac n2}\right)^{\frac 1n}=\left(\frac n2\right)^{\frac n2\cdot\frac 1n}=\left(\frac n2\right)^{\frac 12}=\sqrt{\frac n2}$$

Das bedeutet für die Folgenglieder:$$a_n=\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}\le\frac{1}{\sqrt{\frac n2}}=\sqrt{\frac 2n}\to0$$