Komplexe Zahlen Beweis...

Question

Für w ∈ ℂ mit w + |w| ≠ 0 definieren wir

z = $\sqrt{|w|}$$\frac{w+|w|}{|w+|w||}$

Man soll zeigen, dass z² = w gilt. Freue mich total über einen Lösungsweg :)

Answer 1

Hallo,

man kann hier w=x+iy setzen und ausmultiplizieren.

Etwas kompakter geht es, wenn man direkt komplex rechnet und benutzt, dass $|w|^2=ww'$, wobei ich mit w' das konjugiert komplexe Element bezeichne.

Ich betrachte das Quadrat des Zählers mit dem Vorfaktor |w|:

$$|w|(w+|w|)^2=|w|(w^2+2w|w|+ww')=(w|w|+2|w|^2+|w|w')w$$

$$=(w+|w|)(w'+|w|)w$$

Nach Kürzen mit dem quadrierten Nenner bleibt w.

Gruß Mathhilf