Gesucht ist Beweis, dass auch die zweite Folge konvergiert.

Question 1

Aufgabe:

Beweis, dass auch die Folge b_n konvergiert.

Problem/Ansatz:

Es sei a_n eine gegen a > 0 konvergente reelle Folge mit a_n≥ 0 für alle n ∈ N.

Beweise, dass dann auch die Folge b_n := √ a_n, n ∈ N, konvergiert mit lim _n→∞ b_n = √a.

Question 2

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_für_Nicht-Freaks:_Grenzwertsätze:_Grenzwert_von_Folgen_berechnen#Die_Wurzelregel
liefert einen allgemeineren Beweis. Deine Aufgabe ist ein Spezialfall für $k=2$.

Question 3

Für beliebiges $\varepsilon>0$ gibt es ein (von $\varepsilon$ abhängiges) $N\in\mathbb N$ mit der Eigenschaft, dass $\lvert a_n-a\rvert<\varepsilon\cdot\sqrt a$ für alle $n\in\mathbb N$ mit $n>N$ gilt. Für diese $n$ gilt nach der dritten binomische Formel$$\lvert\sqrt{a_n}-\sqrt a\rvert=\frac{\lvert a_n-a\rvert}{\sqrt{a_n}+\sqrt a}<\frac{\varepsilon\cdot\sqrt a}{\sqrt a}=\varepsilon.$$Daraus folgt die Behauptung.

Arsinoé4 · Answer 1 · 2021-11-16T19:52:45+0000

Für beliebiges $\varepsilon>0$ gibt es ein (von $\varepsilon$ abhängiges) $N\in\mathbb N$ mit der Eigenschaft, dass $\lvert a_n-a\rvert<\varepsilon\cdot\sqrt a$ für alle $n\in\mathbb N$ mit $n>N$ gilt. Für diese $n$ gilt nach der dritten binomische Formel$$\lvert\sqrt{a_n}-\sqrt a\rvert=\frac{\lvert a_n-a\rvert}{\sqrt{a_n}+\sqrt a}<\frac{\varepsilon\cdot\sqrt a}{\sqrt a}=\varepsilon.$$Daraus folgt die Behauptung.

Gesucht ist Beweis, dass auch die zweite Folge konvergiert.

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