Aufgabe:
Beweis, dass auch die Folge bn konvergiert.
Problem/Ansatz:
Es sei an eine gegen a > 0 konvergente reelle Folge mit an ≥ 0 für alle n ∈ N.
Beweise, dass dann auch die Folge bn := √ an, n ∈ N, konvergiert mit lim n→∞ bn = √a.
https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_für_Nicht-Freaks:_Grenzwertsätze…liefert einen allgemeineren Beweis. Deine Aufgabe ist ein Spezialfall für k=2k=2k=2.
Für beliebiges ε>0\varepsilon>0ε>0 gibt es ein (von ε\varepsilonε abhängiges) N∈NN\in\mathbb NN∈N mit der Eigenschaft, dass ∣an−a∣<ε⋅a\lvert a_n-a\rvert<\varepsilon\cdot\sqrt a∣an−a∣<ε⋅a für alle n∈Nn\in\mathbb Nn∈N mit n>Nn>Nn>N gilt. Für diese nnn gilt nach der dritten binomische Formel∣an−a∣=∣an−a∣an+a<ε⋅aa=ε.\lvert\sqrt{a_n}-\sqrt a\rvert=\frac{\lvert a_n-a\rvert}{\sqrt{a_n}+\sqrt a}<\frac{\varepsilon\cdot\sqrt a}{\sqrt a}=\varepsilon.∣an−a∣=an+a∣an−a∣<aε⋅a=ε.Daraus folgt die Behauptung.
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