Aloha :)
Hier geht es darum, wie du den Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten \(A\) und \(B\) ausrechnest. Um von \(A\) nach \(B\) zu gelangen, gehst du zuerst vom Punkt \(A\) zum Ursprung zurück, läufst also den Vektor \((-\vec a)\) entlang. Danach gehst du vom Ursrpung zum Zielpunkt \(B\), läufst also den Vektor \(\vec b\) entlang. Das heißt formal:$$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$$Merkregel: "Zielpunkt minus Startpunkt"
zu 2a) \(A(20|10)\), \(B(-15|0)\), \(C(-5;-10)\)
Aus diesen Eckpunkten kannst du die Verbindungsvektoren und deren Länge bestimmen:$$\left\|\overrightarrow{AB}\right\|=\left\|\vec b-\vec a\right\|=\left\|\binom{-15}{0}-\binom{20}{10}\right\|=\left\|\binom{-35}{-10}\right\|=\sqrt{35^2+10^2}=\sqrt{1325}$$ $$\left\|\overrightarrow{BC}\right\|=\left\|\vec c-\vec b\right\|=\left\|\binom{-5}{-10}-\binom{-15}{0}\right\|=\left\|\binom{10}{-10}\right\|=\sqrt{10^2+10^2}=\sqrt{200}$$ $$\left\|\overrightarrow{CA}\right\|=\left\|\vec a-\vec c\right\|=\left\|\binom{20}{10}-\binom{-5}{-10}\right\|=\left\|\binom{25}{20}\right\|=\sqrt{25^2+20^2}=\sqrt{1025}$$ $$U_a=\sqrt{1325}+\sqrt{200}+\sqrt{1025}\approx82,5883$$
zu 2b) \(A(1|3|1)\), \(B(2|1|0)\), \(C(5|-3|-1)\)
Dieselbe Rechnungen wie oben, die kriegst du im Detail nun sicher alleine hin. Heir die Ergebnisse$$\left\|\overrightarrow{AB}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}1\\-2\\-1\end{pmatrix}\right\|=\sqrt6\;;\;\left\|\overrightarrow{BC}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}3\\-4\\-1\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{26}\;;\;\left\|\overrightarrow{CA}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}-4\\6\\2\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{56}$$ $$U_b=\sqrt{6}+\sqrt{26}+\sqrt{56}\approx15,0318$$
zu 3) \(A(1|-5|3)\), \(B(3|-3|2)\), \(C(2|0|7)\), \(D(0|-2|8)\)
a) Die Kantenvektoren und ihre Längen lauten:
$$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}\quad;\quad\overline{AB}=\sqrt{9}=3$$ $$\overrightarrow{BC}=\vec c-\vec b=\begin{pmatrix}-1\\3\\5\end{pmatrix}\quad;\quad\overline{BC}=\sqrt{35}$$ $$\overrightarrow{CD}=\vec d-\vec c=\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\overline{CD}=\sqrt{9}=3$$ $$\overrightarrow{DA}=\vec a-\vec d=\begin{pmatrix}1\\-3\\-5\end{pmatrix}\quad;\quad\overline{DA}=\sqrt{35}$$
b) Die Diagonalvektoren und ihre Längen lauten:
$$\overrightarrow{AC}=\vec c-\vec a=\begin{pmatrix}1\\5\\4\end{pmatrix}\quad;\quad \overrightarrow{BD}=\vec d-\vec b=\begin{pmatrix}-1\\3\\5\end{pmatrix}\quad;\quad\overline{AC}=\sqrt{42}\quad;\quad\overline{BD}=\sqrt{35}$$
c) Bei dem Viereck handelt es sich um eine Raute (ein "Salino"), denn gegenüberliegnede Seiten sind gleich lang und die Diagonalen haben unterschiedliche Länge.
