Sei K ein Körper, zeigen Sie dass...

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper. Beweisen Sie, dass
(a) ∀α ∈ K : 0 · α = α · 0 = 0 ,
(b) ∀α, β ∈ K : α · β = 0 =⇒ α = 0 ∨ β = 0 ,
(c) ∀α, β ∈ K : α(−β) = −(αβ) ∧ (−α)(−β) = αβ .

Kann mir jemand helfen dies zu beweisen?

Liebe Grüße!

Answer 1

(a)

        \(\begin{aligned}0\cdot \alpha&=0\cdot \alpha\\\implies (0+0)\cdot \alpha&=0\cdot \alpha\end{aligned}\)

Die Gleichung mittels Körperaxiomen weiter umformen bis du \(0\cdot \alpha = 0\) hast. \(\alpha\cdot 0=0\) folgt dann aus dem Komutativgesetz der Multiplikation.

(b) Ist \(\alpha\cdot\beta = 0\) und \(\beta \neq 0\), dann ist \(\alpha = 0\cdot \beta^{-1}\). Verwende Teil (a).