Binomialverteilung - Parameter p gesucht

Question

Aufgabe:

Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - könnten Sie mir bitte bei folgender Aufgabe helfen? Ich hänge dort leider fest.

Für welchen Wert von p ist

b) B_100;p(10)

d) F_100;p(10) am größten?

Ich hätte grundsätzlich gedacht, ich müsste in diesem Fall eine Gleichung aufstellen und diese auf Hochpunkte untersuchen; allerdings wüsste ich nicht, wie ich das machen sollte? Inwiefern könnte ich diese auch ableiten?

Vielen Dank!

Comments

Mein Recher gibt als Antwort:

Answer 1

f(p) = B₁₀₀;_p(10) = \( \begin{pmatrix} 100\\10 \end{pmatrix}  \cdot p^{10} \cdot (1-p)^{90} \)

 \( =17310309456440 \cdot p^{10} \cdot (1-p)^{90} \)

f ' (p) =  \( =17310309456440 \cdot p^{9} \cdot (1-p)^{89}\cdot (1-10p) \)

Das gleich 0 gesetzt gibt p=0 oder p=1 oder p=0,1 .

Der letzte Wert kann ja nur die Stelle für das Max. sein.

Comments

Vielen Dank. Warum kann aber nur p = 0,1 das Maximum sein? Warum könnte es - sofern man es nicht ausgerechnet hat - nicht auch p = 1 sein?

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Für p=0 oder p=1 ist B_100;p(10) = 0 , das kann nicht

das Max. sein.

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Herzlichen Dank!

Könnten Sie mir ggf. aber noch erklären, wie Sie auf die Ableitung gekommen sind? Irgendwie hänge ich dort gerade fest.

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Der Faktor ist ja egal. Es geht letztlich um p¹⁰*(1-p)⁹⁰ .

Das geht mit der Produktregel u*v'+v*u'

und u=p¹⁰ ==>  u'=10p⁹

und v=(1-p)⁹⁰ ==> v'=90*(1-p)⁸⁹*(-1) [Kettenregel!]

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Vielen Dank. Jetzt geht es bei mir auch auf.

Die Teilaufgabe b) verstehe ich allerdings nicht; inwiefern kann ich eine Gleichung, die eine kumulierte Wahrscheinlichkeit angibt, aufstellen und ableiten?

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Ausmultipliziert gibt es:

15579278510796 p^100 - 1400561401475600 p^99 + 62253525151303200 p^98 - 1823964108041275200 p^97 + 39623720284584160725 p^96 - 680693805309908950560 p^95 + 9631093202789137279200 p^94 - 115425175373518969358400 p^93 + 1195967917660945190661900 p^92 - 10881993800255633163385200 p^91 + 88023238739845566032715840 p^90 - 639269895240349310002665600 p^89 + 4202473118142523589051614200 p^88 - 25177681563690309318668203200 p^87 + 138268131643787645527437009600 p^86 - 699474077727396324432916636800 p^85 + 3273580319125984286222504200500 p^84 - 14226502138115191809437559006000 p^83 + 57599984266515166838210604756000 p^82 - 217899355685283496642015686088000 p^81 + 772180841709723391225143087574350 p^80 - 2569281643301792115468830526468000 p^79 + 8043229013879503056118040552556000 p^78 - 23734565119443412180278306000936000 p^77 + 66128870579501875383867517048660500 p^76 - 174227531020127607678029618250870864 p^75 + 434663279052293407928556220168492800 p^74 - 1028107664607707695465717452270681600 p^73 + 2308142504967502494879879558024357600 p^72 - 4923439476356129653964269557475948800 p^71 + 9987548652036720155184661102308353280 p^70 - 19284046719453788798930645326102617600 p^69 + 35466339600760139142150938692583950200 p^68 - 62174370100654138089089569594054903200 p^67 + 103956433430327239799582916718758465600 p^66 - 165873342132785881526367467116084936320 p^65 + 252697669655415991387825438184660645175 p^64 - 367717930275062652418491585723881985600 p^63 + 511308972657514961512299845004854577600 p^62 - 679596036798260743296297650233438492800 p^61 + 863653296764456361272378263838328084600 p^60 - 1049665437158950682985031870890733596000 p^59 + 1220300705268533798938263652858192752000 p^58 - 1357217349066512907346269570661539552000 p^57 + 1444246708300485731762142375923115546000 p^56 - 1470505739360494563248726782758081283200 p^55 + 1432618312903541402198840102364958416000 p^54 - 1335423413312735100724892299354248672000 p^53 + 1190966553699578659540709238126024657000 p^52 - 1016062702075831013261621486868621276000 p^51 + 829107164893878106821483133284794961216 p^50 - 646962373566651583954338579393897628800 p^49 + 482629783486019731299270206262595106100 p^48 - 344098954424396243591932511570601729600 p^47 + 234386244318067006504649681794467844800 p^46 - 152469435697813285039388277854179082880 p^45 + 94674609016905164817477299154583602600 p^44 - 56086304484923010736424740258039735200 p^43 + 31680933896245510169671774464311443200 p^42 - 17051912332745619777144543345404505600 p^41 + 8739105070532130135786578464519809120 p^40 - 4261186163016927682855162260968044800 p^39 + 1975048934641122678131509842519993600 p^38 - 869326558104586815857112440336985600 p^37 + 362974022958599182662561704689314300 p^36 - 143594118972632643690683751305662800 p^35 + 53751809241092433467100869472708000 p^34 - 19011268578260643587188095851496000 p^33 + 6342914056901299285063675362217875 p^32 - 1992724752799286170903595064708000 p^31 + 588328260350265440933442352437600 p^30 - 162868921029456678645974813448000 p^29 + 42171417052270032863689907053500 p^28 - 10184472103947506668247790846000 p^27 + 2286742177185718752953765928000 p^26 - 475642372854629500614383313024 p^25 + 91269095668377371280172236600 p^24 - 16079027582458351123327915200 p^23 + 2586137303472322208647147200 p^22 - 377242451742195282997353600 p^21 + 49513071791163130893402660 p^20 - 5791002548674050396889200 p^19 + 596363406096514675018400 p^18 - 53254280062481112014400 p^17 + 4041619469027584393950 p^16 - 253591809821338628640 p^15 + 12637465605714549600 p^14 - 469295804986747200 p^13 + 11554631562173700 p^12 - 141629804643600 p^11 + 1

Das kann man doch problemlos ableiten.