Binomialverteilung - Parameter p gesucht

Question

Aufgabe:

Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - könnten Sie mir bitte bei folgender Aufgabe helfen? Ich hänge dort leider fest.

Für welchen Wert von p ist

b) B_100;p(10)

d) F_100;p(10) am größten?

Ich hätte grundsätzlich gedacht, ich müsste in diesem Fall eine Gleichung aufstellen und diese auf Hochpunkte untersuchen; allerdings wüsste ich nicht, wie ich das machen sollte? Inwiefern könnte ich diese auch ableiten?

Vielen Dank!

Comments

Mein Recher gibt als Antwort:

Answer 1

f(p) = B₁₀₀;_p(10) = $\begin{pmatrix} 100\\10 \end{pmatrix} \cdot p^{10} \cdot (1-p)^{90}$

 $=17310309456440 \cdot p^{10} \cdot (1-p)^{90}$

f ' (p) =  $=17310309456440 \cdot p^{9} \cdot (1-p)^{89}\cdot (1-10p)$

Das gleich 0 gesetzt gibt p=0 oder p=1 oder p=0,1 .

Der letzte Wert kann ja nur die Stelle für das Max. sein.

Comments

Vielen Dank. Warum kann aber nur p = 0,1 das Maximum sein? Warum könnte es - sofern man es nicht ausgerechnet hat - nicht auch p = 1 sein?

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Für p=0 oder p=1 ist B_100;p(10) = 0 , das kann nicht

das Max. sein.

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Herzlichen Dank!

Könnten Sie mir ggf. aber noch erklären, wie Sie auf die Ableitung gekommen sind? Irgendwie hänge ich dort gerade fest.

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Der Faktor ist ja egal. Es geht letztlich um p¹⁰*(1-p)⁹⁰ .

Das geht mit der Produktregel u*v'+v*u'

und u=p¹⁰ ==>  u'=10p⁹

und v=(1-p)⁹⁰ ==> v'=90*(1-p)⁸⁹*(-1) [Kettenregel!]

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Vielen Dank. Jetzt geht es bei mir auch auf.

Die Teilaufgabe b) verstehe ich allerdings nicht; inwiefern kann ich eine Gleichung, die eine kumulierte Wahrscheinlichkeit angibt, aufstellen und ableiten?

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Ausmultipliziert gibt es:

15579278510796 p¹⁰⁰ - 1400561401475600 p⁹⁹ + 62253525151303200 p⁹⁸ - 1823964108041275200 p⁹⁷ + 39623720284584160725 p⁹⁶ - 680693805309908950560 p⁹⁵ + 9631093202789137279200 p⁹⁴ - 115425175373518969358400 p⁹³ + 1195967917660945190661900 p⁹² - 10881993800255633163385200 p⁹¹ + 88023238739845566032715840 p⁹⁰ - 639269895240349310002665600 p⁸⁹ + 4202473118142523589051614200 p⁸⁸ - 25177681563690309318668203200 p⁸⁷ + 138268131643787645527437009600 p⁸⁶ - 699474077727396324432916636800 p⁸⁵ + 3273580319125984286222504200500 p⁸⁴ - 14226502138115191809437559006000 p⁸³ + 57599984266515166838210604756000 p⁸² - 217899355685283496642015686088000 p⁸¹ + 772180841709723391225143087574350 p⁸⁰ - 2569281643301792115468830526468000 p⁷⁹ + 8043229013879503056118040552556000 p⁷⁸ - 23734565119443412180278306000936000 p⁷⁷ + 66128870579501875383867517048660500 p⁷⁶ - 174227531020127607678029618250870864 p⁷⁵ + 434663279052293407928556220168492800 p⁷⁴ - 1028107664607707695465717452270681600 p⁷³ + 2308142504967502494879879558024357600 p⁷² - 4923439476356129653964269557475948800 p⁷¹ + 9987548652036720155184661102308353280 p⁷⁰ - 19284046719453788798930645326102617600 p⁶⁹ + 35466339600760139142150938692583950200 p⁶⁸ - 62174370100654138089089569594054903200 p⁶⁷ + 103956433430327239799582916718758465600 p⁶⁶ - 165873342132785881526367467116084936320 p⁶⁵ + 252697669655415991387825438184660645175 p⁶⁴ - 367717930275062652418491585723881985600 p⁶³ + 511308972657514961512299845004854577600 p⁶² - 679596036798260743296297650233438492800 p⁶¹ + 863653296764456361272378263838328084600 p⁶⁰ - 1049665437158950682985031870890733596000 p⁵⁹ + 1220300705268533798938263652858192752000 p⁵⁸ - 1357217349066512907346269570661539552000 p⁵⁷ + 1444246708300485731762142375923115546000 p⁵⁶ - 1470505739360494563248726782758081283200 p⁵⁵ + 1432618312903541402198840102364958416000 p⁵⁴ - 1335423413312735100724892299354248672000 p⁵³ + 1190966553699578659540709238126024657000 p⁵² - 1016062702075831013261621486868621276000 p⁵¹ + 829107164893878106821483133284794961216 p⁵⁰ - 646962373566651583954338579393897628800 p⁴⁹ + 482629783486019731299270206262595106100 p⁴⁸ - 344098954424396243591932511570601729600 p⁴⁷ + 234386244318067006504649681794467844800 p⁴⁶ - 152469435697813285039388277854179082880 p⁴⁵ + 94674609016905164817477299154583602600 p⁴⁴ - 56086304484923010736424740258039735200 p⁴³ + 31680933896245510169671774464311443200 p⁴² - 17051912332745619777144543345404505600 p⁴¹ + 8739105070532130135786578464519809120 p⁴⁰ - 4261186163016927682855162260968044800 p³⁹ + 1975048934641122678131509842519993600 p³⁸ - 869326558104586815857112440336985600 p³⁷ + 362974022958599182662561704689314300 p³⁶ - 143594118972632643690683751305662800 p³⁵ + 53751809241092433467100869472708000 p³⁴ - 19011268578260643587188095851496000 p³³ + 6342914056901299285063675362217875 p³² - 1992724752799286170903595064708000 p³¹ + 588328260350265440933442352437600 p³⁰ - 162868921029456678645974813448000 p²⁹ + 42171417052270032863689907053500 p²⁸ - 10184472103947506668247790846000 p²⁷ + 2286742177185718752953765928000 p²⁶ - 475642372854629500614383313024 p²⁵ + 91269095668377371280172236600 p²⁴ - 16079027582458351123327915200 p²³ + 2586137303472322208647147200 p²² - 377242451742195282997353600 p²¹ + 49513071791163130893402660 p²⁰ - 5791002548674050396889200 p¹⁹ + 596363406096514675018400 p¹⁸ - 53254280062481112014400 p¹⁷ + 4041619469027584393950 p¹⁶ - 253591809821338628640 p¹⁵ + 12637465605714549600 p¹⁴ - 469295804986747200 p¹³ + 11554631562173700 p¹² - 141629804643600 p¹¹ + 1

Das kann man doch problemlos ableiten.