Zeigen Sie, dass (P(M), ⊕, *) ein Vektorraum

Question

Aufgabe:

Sei M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Wie üblich bezeichne ¨ P(M) := {A | A ⊆ M} die Potenzmenge von M. Wir betrachten

die Abbildungen
                              ⊕ : P(M) × P(M) → P(M) und * F2 × P(M) → P(M

die durch
A ⊕ B := A "dreieck"B     und     α *  A := (∅ falls α = [0], A falls α = [1]

fur alle ¨ A, B ∈ P(M) gegeben sind. Zeigen Sie, dass (P(M), ⊕, *) ein Vektorraum
uber ¨ F2 ist



Info; * steht für mal.
……

Problem/Ansatz

Ich habe bis jetzt keine Lösung gefunden.

Comments

Siehe die Vektorraumaxiome:

https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Definition

Eine Potenzmenge P(M) bildet mit der symmetrischen Differenz ("Dreieck") immer eine abelsche Gruppe mit neutralem Element ∅. siehe z.B.

https://www.math.kit.edu/iag3/lehre/einfalgzahl2012s/media/musterloesung_uebungsblatt_6.pdf

um eine Idee zu erhalten. Googel liefert noch mehr! Fehlen noch die Verträglichkeitseigenschaften mit der Skalarmultiplikation

[1] * A = A ist klar nach Definition

Die anderen drei einfach nachrechnen:

a * ( A ⊕ B ) = ∅ falls a=[0], A ⊕ B falls a=[1]

(a * A) ⊕ (a * B) = ∅⊕∅=∅ falls a=[0], A ⊕ B falls a=[1]

also gilt a * ( A ⊕ B ) = (a * A) ⊕ (a * B).

Jetzt noch

(a+b) * A = (a*A) ⊕ (a*B)

(a*b) * A = a * (b * A)

zeigen. Da kannst du theoretisch auch einfach alle Kombinationen für a=0,1, b=0,1 hinschreiben und schauen ob Gleichheit gilt.

Übrigens: Jede abelsche Gruppe (V,+) in der alle Elemente selbst invers sind, also in der v+v=e für alle v in V gilt, ist ein F2 Vektorraum.