Untervektorraum in einem endlich erzeugten K-Vektorraum V

Question

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Aufgabe 3. Seien $W_{1}, W_{2}, W_{3}$ Untervektorräume in einem endlich erzeugtem $K$-Vektorraum $V$. Bauer Berndt behauptet das
$\begin{aligned} \operatorname{dim}_{K}\left(W_{1}+W_{2}+W_{3}\right) &=\operatorname{dim}_{K} W_{1}+\operatorname{dim}_{K} W_{2}+\operatorname{dim}_{K} W_{3} \\ &-\operatorname{dim}_{K}\left(W_{1} \cap W_{2}\right)-\operatorname{dim}_{K}\left(W_{2} \cap W_{3}\right) \\ &-\operatorname{dim}_{K}\left(W_{1} \cap W_{3}\right)+\operatorname{dim}_{K}\left(W_{1} \cap W_{2} \cap W_{3}\right) \end{aligned}$
Stimmt das? Begründen Sie Ihre Antwort!

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Aufgabe 1. Geben Sie ein Beispiel von zwei Untervektoräume $W_{1}, W_{2} \subset \mathbb{R}^{6}$ an, s.d. $\operatorname{dim} W_{1}=4, \operatorname{dim} W_{2}=3$ und $\operatorname{dim} W_{1} \cap W_{2}=2$. Begründen Sie Ihre Anwort!

Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen?

Habe bei der letzten Vorlesung leider nicht wirklich viel verstanden und ich möchte meine Klausurzulassung noch bekommen.:/

Danke im Voraus

Answer 1

Zu Aufgabe 3: Nein, diese Formel stimmt nicht. Betrachte zum Beispiel drei Geraden $W_{1}, W_{2}, W_{3} \in \mathbb{R}^{2}$, welche sich nicht schneiden. Die Dimensionen der Schnitte sind 0, da sich die Geraden ja nicht schneiden, und somit ist nach der Formel
$\operatorname{dim}\left(W_{1}+W_{2}+W_{3}\right)=\operatorname{dim}\left(W_{1}\right)+\operatorname{dim}\left(W_{2}\right)+\operatorname{dim}\left(W_{3}\right) \Longleftrightarrow 2=3$
was natürlich nicht stimmt.
Zur Aufgabe 1: $W_{1}$ kann einfach durch die ersten vier kanonischen Basisvektoren erzeugt werden, $W_{2}$ durch zwei der ersten vier und einen der letzten beiden.