Question

Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und U ⊂ V ein r-dimensionaler Untervektorraum. Beweisen Sie mit Basisergänzungssatz, dass es eine Folge von Untervektorräumen

gibt.

Zeigen Sie weiterhin, dass es zwischen den U_s und U_s+1 keine Untervektorräume W ≠ U_s, U_s+1 gibt.

Answer 1

Jede Basis von Ur hat r linear unabhängige Elemente.

Diese sind auch in V linear unabhängig. Lassen sich also

durch (n-r) Stück zu einer Basis von V ergänzen.

Nimmt man zunächst nur einen davon zu den

vorhandenen r Stück, hat man r+1 linear unabhängige

Vektoren von V, deren Span dann ein Unterraum U_r+1 ist.

Nimmt man den nächsten dazu hat man als Span dann U_r+2 etc.

Zwischen Us und Us+1 gibt es keinen Unterraum W.

Denn wenn W≠U_s ist, dann ließe sich

eine Basis von U_s zu einer von W ergänzen,

Also wäre W ein (s+1) dimensionaler Unterraum von U_s+1,

Aber wenn ein Unterraum gleiche Dimension hat wie

der ganze Raum, dann sind sie gleich.