Wir betrachten fn(x)=(x−n)21. Es folgt für ein beliebiges x∈/N
n→∞limfn(x)=n→∞lim(x−n)21=n→∞limx2−2xn+n21=0
Für die gleichmässige Konvergenz berechnen wir
supx∈R\N∣fn(x)∣=supx∈R\N∣∣∣x2−2xn+n21∣∣∣
Um den obigen Ausdruck zu maximieren, müssen wir den Nenner minimieren, also bestimmen wir die Minimalstelle (wenn es denn eine gibt) von
x2−2xn+n2
Indertat hat die Funktion eine Minimalstelle bei x=n, das dürfen wir aber nicht einsetzen, da n∈N und der Nenner somit 0 wäre. Wir können aber somit die Funktion x2−2xn+n2 beliebig nahe an Null heranbringen und daher den Ausdruck
∣∣∣x2−2xn+n21∣∣∣ beliebig gross machen, somit konvergiert die Folge nicht gleichmässig.