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Aufgabe:

Gegeben sei die reelle Funktion fx0(x) = 1/(x-x0)2

Betrachte nun die Funktionenfolge (fn) von n=0 bis Unendlich (also der Paramter x0 durchläuft nun der Reihe nach alle natürlichen Zahlen).

Bestimme das Konvergenzverhalten dieser Funktionenfolge (punktweise und/oder gleichmäßig) und berechne die Grenzfunktion.

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Danke :)

Ich hätte jetzt noch eine änliche Aufgabe, wo ich auch punktweise und/oder gleichmäßige Konvergenz bestimmen soll:

fx0(x) = 1/(1+(x-x0)2)

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Wir betrachten fn(x)=1(xn)2. f_{n}(x)=\frac{1}{(x-n)^{2}} . Es folgt für ein beliebiges xN x \notin \mathbb{N}
limnfn(x)=limn1(xn)2=limn1x22xn+n2=0 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{(x-n)^{2}}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x^{2}-2 x n+n^{2}}=0
Für die gleichmässige Konvergenz berechnen wir
supxR\Nfn(x)=supxR\N1x22xn+n2 \sup _{x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{N}}\left|f_{n}(x)\right|=\sup _{x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{N}}\left|\frac{1}{x^{2}-2 x n+n^{2}}\right|
Um den obigen Ausdruck zu maximieren, müssen wir den Nenner minimieren, also bestimmen wir die Minimalstelle (wenn es denn eine gibt) von
x22xn+n2 x^{2}-2 x n+n^{2}
Indertat hat die Funktion eine Minimalstelle bei x=n x=n , das dürfen wir aber nicht einsetzen, da nNn \in \mathbb{N} und der Nenner somit 0 wäre. Wir können aber somit die Funktion x22xn+n2 x^{2}-2 x n+n^{2} beliebig nahe an Null heranbringen und daher den Ausdruck

1x22xn+n2\left|\frac{1}{x^{2}-2 x n+n^{2}}\right| beliebig gross machen, somit konvergiert die Folge nicht gleichmässig.

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