Zeigen Sie, dass das Wurzelkriterium echt stärker ist als das Quotientenkriterium

Question

Aufgabe: Zeigen sie, dass das wurzelkriterium echt stärker ist als das Quotientenkriterium

Das heißt, dass das Wurzelkriterium stets absolute Konvergenz anzeigt, wenn dies auch das Quotientenkriterium tut, dass aber die andere Richtung nicht gilt

Answer 1

Die Reihe

$\sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^{-n-(-1)^{n}}$

ist ein Beispiel, das Wurzelkriterium zeigt hier die Konvergenz, das Quotienten Kriterium scheitert jedoch. Nun musst du noch beweisen, dass

$\limsup _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=L \Longrightarrow \limsup _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=L$

gilt. Wenn du hier nicht mehr weiterkommst, schreib einfach einen Kommentar.

Comments

Wäre dir echt dankbar wenn du mir das auch noch erklären könntest.

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Ja, ich hab jetzt erstmal eine Vorlesung, werde es dann nachher hinzufügen.

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Danke schonmal im Voraus

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Ich habe versucht es mit beiden Kriterien zu lösen scheitere allerdings schon am Anfang.

Für verschiedene n nähert sich meine Folge der 0 an.

Bei dem Wurzelkriterium kann ich unter der Wurzel die | | weglassen und bei dem Quotienten ebenfalls.

Ich habe keine Ahnung wie ich dann im nächstens Schritt weiter gehe.