Zeige mit Hilfe des Banach’schen Fixpunktsatzes

Question

Aufgabe:

Es sei A ∈ R^n,n eine Matrix mit der Eigenschaft, dass
sup\( \sum\limits_{i=1}^{n}{|δ_ij − a_ij | < 1} \)
j

Man zeige mit Hilfe des Banach’schen Fixpunktsatzes, dass es für jedes b∈Rⁿ genau
ein x ∈ Rⁿ gibt mit Ax = b. Dabei sei Rⁿ mit der 1-Norm (||·||_p mit p = 1) versehen.
(δ_ij bezeichnet die Eintrage der Einheitsmatrix)

Ax = b gilt genau dann, wenn x = x − Ax + b.

Problem/Ansatz:

Kein Ansatz vorhanden

Answer 1

Du hast ja schon die angenommene Kontraktion \( \varphi( \cdot ) \) definiert als

$$ \varphi(x) = x - Ax + b $$

Nachzuweisen sind die Eigenschaften $$ (1) \quad \varphi : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n $$ und $$ (2) \quad \| \varphi(x) - \varphi(y) \|_1 \le k \| x - y \|_1 $$ mit \( k < 1 \)

Angenommen Du hättest das gemacht, dann folgt aus dem Banachschem Fixpunktsatz das es eine eindeutige Lösung \( \hat x \) gibt, mit $$ \varphi( \hat x ) = \hat x $$ und daraus folgt

$$  \hat x = \hat x - A \hat x + b $$ also $$ A \hat x = b $$

Eigenschaft (1) sollte klar sein. Also muss nur noch die Lipschitzstetigkeit (2) bzgl. der 1-Norm nachgewiesen werden.

$$  \| \varphi(x) - \varphi(y) \|_1  =  \| x - Ax + b - y + Ay - b \|_1 = \| (I - A) (x - y)  \|_1 \le \\ \| I - A \|_1 \|   x - y \|_1 $$

Wegen der Voraussetzung gilt also $$ \| \varphi(x) - \varphi(y) \|_1  <  \| x - y \|_1  $$

Damit ist \( \varphi(\cdot) \) Lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante \( k =\| I - A \|_1 \ < 1 \) und es giibt die eindeutige Lösung, was zu beweisen war.

Comments

Der Banachsche Fixpunktsatz verlangt Lipschitz Stetigkeit mit k <1. Das wird hier durch die Voraussetzung erfüll.