Beweisen Sie: Es gibt x,y ∈ ℝ\ℚ, so dass xy ∈ ℚ.

Question

Aufgabe:

Eine ganze Zahö z∈Z heißt gerade, wenn 2 | z gilt, andersfall ungerade. Beweisen Sie:

Es gibt x,y ∈ ℝ\ℚ, so dass x^y ∈ ℚ.

Können Sie mir bitte bitte bei dieser Frage helfen?

Answer 1

Betrachte \(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\) (also \(x=y=\sqrt{2}\)) oder \(e^{\ln(5)}\).

Für das erste: Sollte \(x=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\) irrational sein, so ist \(x^{\sqrt{2}} = 2\) ein Beispiel. Wenn hingegen \(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\) rational ist, so ist das dein Beispiel. Eines von beiden wird es sein, und damit ist die Existenz bewiesen.

Comments

Gleiches Problem wie bei mir: Ist dein Term irrational?

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Das war nicht der Punkt, die erste Zahl sollte lediglich einen Denkanstoss geben. Es ist egal, ob es irrational oder nicht ist, wie ich gezeigt habe.

Answer 2

√2 ist irrational.

Ich vermute mal, dass (√2)^-1+√3 ebenfalls irrational ist?

Dann wäre x= (√2)^-1+√3 irrational, und y=1+√3 wäre ebenfalls irrational.

Allerdings ist x^y=√2²=2 und somit rational.

Es müsste allerdings jemand verifizieren, dass (√2)^-1+√3 tatsächlich errational ist.