Aufgabe:
Millimeterarbeit
Zu je zwei teilerfremden Zahlen \( n, m \in \mathbb{Z} \backslash\{0\} \) existieren Koeffizienten \( x, y \in \mathbb{Z} \), für die gilt:
\( x m+y n=1 \)
Bitte merken Sie sich diese Aussage, selbst wenn Sie die Aufgabe nicht bearbeiten. Sie wird Ihnen noch nützlich sein.
Beweisen Sie die Aussage wie folgt:
Schritt 1: Es gibt eine Abbildung \( \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / m \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} /(n m) \mathbb{Z} \), die \( ([x],[y]) \) auf \( [x m+y n] \) abbildet. Schritt 2: Diese Abbildung ist ein Gruppenhomomorphismus.
Schritt 3: Sie ist für teilerfremde \( m, n \) injektiv.
Schritt 4: Sie definiert für teilerfremde \( m, n \) sogar einen Gruppenisomorphismus.
Wieso folgt nun die Behauptung? Wie können die Koeffizienten \( x \) und \( y \) zum Beispiel für \( n=13 \) und \( m=17 \) gewählt werden?
