Finden Sie alle lokalen Extremstellen von f unter einer Nebenbedingung

Question

Aufgabe:

Die Funktionen $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ und $g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ seien definiert durch
$\begin{aligned} f\left(x_{1}, x_{2}\right) &:=\frac{1}{3} x_{2}^{3}+\frac{1}{2} x_{1}^{2}-\frac{3}{2} x_{2}^{2}-x_{1}+2 x_{2}+4 \\ g\left(x_{1}, x_{2}\right) &:=2 x_{2}-x_{1} \end{aligned}$
Bestimmen Sie alle lokalen Extremstellen von $f$ unter der Nebenbedingung $g(x)=0$, d. h. finden Sie alle lokalen Extremstellen von $f$ auf der Menge $M:=\left\{x \in \mathbb{R}^{2}: g(x)=0\right\}$.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Ich schreibe $x$ statt $x_1$ und $y$ statt $x_2$, um mir Inidzes zu sparen.$$f(x;y)=\frac13y^3+\frac12x^2-\frac32y^2-x+2y+4\to\text{Ext!}\quad;\quad g(x;y)=2y-x\stackrel!=0$$

Nach Lagrange muss im Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da hier nur eine Nebenbedingung vorliegt, heißt das:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\,\operatorname{grad}{g(x;y)}\quad\implies\quad\binom{x-1}{y^2-3y+2}=\lambda\binom{-1}{2}$$

Da uns der Lagrange-Multiplikator $\lambda$ nur stört, dividieren wir die Gleichung der zweiten Koordinaten durch die der ersten Koordinate:$$\frac{y^2-3y+2}{x-1}=\frac{2\lambda}{-\lambda}=-2\implies\frac{x-1}{y^2-3y+2}=-\frac12\implies x=1-\frac{y^2-3y+2}{2}$$

Das setzen wir in die Nebenbedingung ein:$$0\stackrel!=2y-\left(1-\frac{y^2-3y+2}{2}\right)\implies0=4y-2+(y^2-3y+2)=y^2+y=y(y+1)$$Also ist $y=0$ oder $y=-1$. Mit den entsprechenden $x$-Koordinaten erhalten wir zwei Extremstellen:$$K_1(-2|-1)\quad;\quad K_2(0|0)$$

Comments

Schneller mit Schulmathemarik :

Nebenbedingung x = 2y bei f einsetzen liefert f(y) = 1/3 y³ +1/2*4y² - 3/2y² - 2y + 2y +4  mit der Ableitung f'(y) = y² + y und ihren Nullstellen y1=0 und y2=-1 sowie aus g die zugehörigen x-Werte x1 = 0 und x2 = -2.

Fehlt noch der Nachweis, dass es wirklich Extremstellen sind.