Bijektivität mit Umkehrfkt zeigen

Question

Text erkannt:

Zeigen Sie, dass die Abbildung \( L: \mathcal{P}_{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n+1} \) mit
\( L(P)=\left(a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}\right)^{\top} \)
linear und bijektiv ist; dabei ist \( P \) das Polynom mit \( P(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} x^{k} \) und \( \mathcal{P}_{n} \) der Vektorraum aller reellen Polynome vom Grad kleiner gleich \( n \).

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Abbildung L : Pn → Rn+1
mit L(P) = (a0 , a1 , . . . , an) linear und bijektiv ist.


Pn ist der Vektorraum aller reellen Polynome vom Grad kleiner gleich n und P die allgemeine Form eines Polynoms P(x)

Problem/Ansatz:

Die Linearität habe ich soweit. Nun möchte ich die Bijektivität mithilfe der Umkehrabbildung zeigen. Wie mache ich das bei einem allgemeinen Polynom?

Answer 1

Wenn du mit der Inversen argumentieren möchtest, musst du zeigen, dass \(f\circ g = g\circ f = \text{id}\), wobei \(g\) die Funktion ist, von welcher du behauptest, sie sei die Inverse von \(f\).

Comments

aber wie bestimme ich die umkehrabb. von einem allgemeinen polynom?

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ich bilde ja ein allg. Polynom auf einen Vektor ab bzw. die Koeffizienten