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Hey,

ich habe folgende Teilaufgabe vor mir. Wir sollen zeigen dass det(B) = det(A) ist , wenn für B gilt:

Bi,j  = (-1)i+j  * Ai,j   (1<=i<=n, 1<=j<=n)

Wie kann ich zeigen dass det (B) = det (A) ist?

Ich freue mich über jede hilfreiche Antwort :)

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Wir verwenden die Leibniz-Formel für die Determinante:

det(B)=πSnsign(π)b1,π(1)bn,π(n)=\det(B)=\sum_{\pi \in S_n}sign(\pi)b_{1,\pi(1)}\cdots b_{n,\pi(n)} =

=πSnsign(π)(1)1+π(1)a1,π(1)(1)n+π(n)an,π(n)==\sum_{\pi \in S_n}sign(\pi)(-1)^{1+\pi(1)}a_{1,\pi(1)}\cdots (-1)^{n+\pi(n)}a_{n,\pi(n)}=

=πSnsign(π)(1)1+π(1)++n+π(n)a1,π(1)an,π(n)=\sum_{\pi \in S_n}sign(\pi)(-1)^{1+\pi(1)+\cdots+n+\pi(n)}a_{1,\pi(1)}\cdots a_{n,\pi(n)}.

Da π(i)\pi(i) dieselben Zahlen wie ii genau einmal durchläuft,

kommt in der Summe s=1+π(1)++n+π(n)s=1+\pi(1)+\cdots + n+\pi(n)

jede Zahl 1,,n1,\cdots,n zweimal vor,

d.h. diese Summe ist gerade, also (1)s=1(-1)^s=1, q.e.d.

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