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Aufgabe:

Gegeben sei die Matrixgleichung X⋅A+X⋅B=C mit den Matrizen

blob.png

Text erkannt:

\( \mathbf{A}=\left(\begin{array}{rr}3 & 0 \\ 0 & -2\end{array}\right), \mathbf{B}=\left(\begin{array}{rr}-1 & -2 \\ 1 & 4\end{array}\right), \mathbf{C}=\left(\begin{array}{rr}6 & 30 \\ 16 & -34\end{array}\right) \)

Bestimmen Sie die Matrix X und die Determinante von X.

Problem/Ansatz:

Bei meinem Rechenweg scheint ein Fehler drinn zu sein. Ich habe folgendermaßen gerechnet:

Gleichung nach x aufgelöst: x= C*(A+B)^-1

Dann die Matrixen eingesetzt. Für x kam dann die Matrixe:

x=(2, 10, -2,66, -11,33).

Für die Determinante von x habe ich folgendeermaßen gerechnet: (2*(-11,33))- (10*(-2,66))= 3,94


Könnte mir vielleicht jemand sagen wo ich falsch gerechnet habe? Bzw. den Rechenweg/Lösung online stellen? Vielen Dank im Voraus

vor von

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Beste Antwort

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Gegeben sind die Matrizen:$$A=\left(\begin{array}{rr}3 & 0\\0 & -2\end{array}\right)\quad;\quad B=\left(\begin{array}{rr}-1 & -2\\1 & 4\end{array}\right)\quad;\quad C=\left(\begin{array}{rr}6 & 30\\16 & -34\end{array}\right)$$

Dafür sollen wir die folgende Gleichung lösen:$$\left.X\cdot A+X\cdot B=C\quad\right|\text{\(X\) ausklammern}$$$$\left.X\cdot(A+B)=C\quad\right|\cdot(A+B)^{-1} \text{ von rechts}$$$$\left.X=C\cdot(A+B)^{-1}\quad\right|\cdot(A+B)^{-1} \text{ von rechts}$$

Wir setzen ein:$$X=\left(\begin{array}{rr}6 & 30\\16 & -34\end{array}\right)\cdot\left(\left(\begin{array}{rr}3 & 0\\0 & -2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{rr}-1 & -2\\1 & 4\end{array}\right)\right)^{-1}$$$$\phantom{X}=\left(\begin{array}{rr}6 & 30\\16 & -34\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rr}2 & -2\\1 & 2\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rr}6 & 30\\16 & -34\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rr}\frac13 & \frac13\\[1ex]-\frac16 & \frac13\end{array}\right)$$$$\phantom{X}=\left(\begin{array}{rr}-3 & 12\\11 & -6\end{array}\right)$$

Die Determinante dieser Matrix ist:$$\operatorname{det}(X)=(-3)\cdot(-6)-11\cdot12=-114$$

vor von 89 k 🚀

Aloha my friend! Vielen Lieben Dank! Nach deinem Rechenweg habe ich es sehr gut verstanden!

Grüße

Hallo kurze Frage, wie kommt man hier auf die Brüche in der vorletzten Zeile ganz am Ende. MFG

Da wurde die inverse Matrix zu \(\begin{pmatrix}2 & -2\\1 & 2\end{pmatrix}\) gebildet.

Hallo , ich habe eine sehr ähnliche Aufgabe, bekommen aber immer das Falsche Ergebnis, könntest du mi helfen?


blob.png

Text erkannt:

Gegeben sei die Matrixgleichung \( \mathbf{A} \cdot \mathbf{X}+\mathbf{B} \cdot \mathbf{X}=\mathbf{C} \) mit den Matrizen
\( \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 3 & 3 \end{array}\right), \mathbf{B}=\left(\begin{array}{rr} 1 & -3 \\ -5 & -1 \end{array}\right), \mathbf{C}=\left(\begin{array}{rr} 27 & 21 \\ -32 & -16 \end{array}\right) \)
Bestimmen Sie die Matrix \( \mathbf{X} \) und ihre Determinante.
\begin{tabular}{|l|l|l|}
\hline \( \mathbf{X}= \) & \( 16.0 \) & \( 10.5 \) \\
\hline\( -16.0 \) & \( -8.0 \) \\
\hline \( \operatorname{det} \mathbf{X}= \) & \( 40.0 \) & \\
\hline
\end{tabular}

Habe nur 0,2 von 1 Punkt bekommen. MFG

@Tschakabumba könntest du mir helfen meinem Fehler auf die schliche zu kommen?

@maxmillion2001:

Du hast übersehen, dass die Matrix \(X\) bei dir von rechts multipliziert wird, in der Original-Frage wird die Matrix aber von links multipliziert. Das ist ein kleiner Unterschied, denn:$$A\cdot X+B\cdot X=C$$$$(A+B)\cdot X=C$$$$X=(A+B)^{-1}\cdot C$$Das heißt, du musst die inverse Matrix von links an \(C\) multiplizieren.

Das sieht für dich konkret so aus:$$A+B=\begin{pmatrix}3 & 0\\ -2 & 2\end{pmatrix}$$Das musst du invertieren:$$(A+B)^{-1}=\begin{pmatrix}\frac13 & 0\\[1ex]\frac13 & \frac12\end{pmatrix}$$und dann von links an die Matrix \(C\) multiplizieren:

$$X=(A+B)^{-1}\cdot C=\begin{pmatrix}9 & 7\\-7 & -1\end{pmatrix}$$

Die Determinante von \(X\) beträgt:$$\operatorname{det}(X)=-9\cdot1+7\cdot7=40$$

Die Determinante war richtig, deswegen gab es wohl 0,2 Punkte.

Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen.

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