Hallo,
ich benutze folgende Aussage: Wenn für zweit Teilmengen gilt P⊆Q, dann ist sup(P)≤sup(Q); denn jede obere Schrankte von Q ist auch eine obere Schranke von P.
Wir zeigen zwei Ungleichungen:
1. Mit der Vorbemerkung gilt:
sup(A)≤sup(A∪(B)) und sup(B)≤sup(A∪B)
⇒max(sup(A),sup(B))≤sup(A∪B)
2. Wenn x∈A∪B; dann folgt:
x∈A⇒x≤sup(A)≤max(sup(A),sup(B))
ODER
x∈B⇒x≤sup(B)≤max(sup(A),sup(B))
Also ist max(sup(A),sup(B)) für jedes x in der Vereinigung eine obere Schranke; daher
sup(A∪B)≤max(sup(A),sup(B))
Die Sache mit dem Durchschnitt geht ähnlich.
Hier noch das Beispiel:
A={1,2},B={1,3}
Gruß Mathhilf