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folgende Aufgabe:

Es seien A, B nichtleere, nichtdisjunkte Teilmengen des R, die nach oben beschränkt sind.
Beweisen Sie, dass sup A ∪ B = max{sup A,sup B} und sup A ∩ B ≤ min{sup A,sup B}.
Geben Sie Teilmengen A, B von R mit der Eigenschaft sup A∩B < min{sup A,sup B} an.

Ich weiß hier leider nicht wie ich vorgehen soll..

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Hallo,

ich benutze folgende Aussage: Wenn für zweit Teilmengen gilt PQP \sube Q, dann ist sup(P)sup(Q)\sup(P) \leq \sup(Q); denn jede obere Schrankte von Q ist auch eine obere Schranke von P.

Wir zeigen zwei Ungleichungen:

1. Mit der Vorbemerkung gilt:

sup(A)sup(A(B)) und sup(B)sup(AB)\sup(A) \leq \sup(A \cup(B)) \text{ und } \sup(B) \leq \sup(A \cup B)
max(sup(A),sup(B))sup(AB)\Rightarrow \max(\sup(A),\sup(B)) \leq \sup(A \cup B)

2. Wenn xABx \in A \cup B; dann folgt:

xAxsup(A)max(sup(A),sup(B))x \in A \Rightarrow x \leq \sup(A) \leq \max(\sup(A),\sup(B))

ODER

xBxsup(B)max(sup(A),sup(B))x \in B \Rightarrow x \leq \sup(B) \leq \max(\sup(A),\sup(B))

Also ist max(sup(A),sup(B))\max(\sup(A),\sup(B)) für jedes x in der Vereinigung eine obere Schranke; daher
sup(AB)max(sup(A),sup(B))\sup(A \cup B) \leq \max(\sup(A),\sup(B))

Die Sache mit dem Durchschnitt geht ähnlich.

Hier noch das Beispiel:

A={1,2},B={1,3}A=\{1,2\}, B=\{1,3\}

Gruß Mathhilf

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