Geben Sie Teilmengen A, B von R mit der Eigenschaft sup A∩B < min{sup A,sup B} an.

Question

folgende Aufgabe:

Es seien A, B nichtleere, nichtdisjunkte Teilmengen des R, die nach oben beschränkt sind.
Beweisen Sie, dass sup A ∪ B = max{sup A,sup B} und sup A ∩ B ≤ min{sup A,sup B}.
Geben Sie Teilmengen A, B von R mit der Eigenschaft sup A∩B < min{sup A,sup B} an.

Ich weiß hier leider nicht wie ich vorgehen soll..

Answer 1

Hallo,

ich benutze folgende Aussage: Wenn für zweit Teilmengen gilt \(P \sube Q\), dann ist \(\sup(P) \leq \sup(Q)\); denn jede obere Schrankte von Q ist auch eine obere Schranke von P.

Wir zeigen zwei Ungleichungen:

1. Mit der Vorbemerkung gilt:

$$\sup(A) \leq \sup(A \cup(B)) \text{ und } \sup(B) \leq \sup(A \cup B) $$
$$\Rightarrow \max(\sup(A),\sup(B)) \leq \sup(A \cup B) $$

2. Wenn \(x \in A \cup B\); dann folgt:

$$x \in A \Rightarrow x \leq \sup(A) \leq \max(\sup(A),\sup(B))$$

ODER

$$x \in B \Rightarrow x \leq \sup(B) \leq \max(\sup(A),\sup(B))$$

Also ist \(\max(\sup(A),\sup(B))\) für jedes x in der Vereinigung eine obere Schranke; daher
$$\sup(A \cup B) \leq \max(\sup(A),\sup(B))$$

Die Sache mit dem Durchschnitt geht ähnlich.

Hier noch das Beispiel:

$$A=\{1,2\}, B=\{1,3\}$$

Gruß Mathhilf