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Partielle Integration mit nur einem Term? f(x) = sin(x)
4
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0
Daumen
787
Aufrufe
Hallo ich muss folgendes Integral mit der partiellen Integration integrieren ∫ (sinx)^4 nur haben wir hier nicht 2 Terme sondern nur einen und ich hab echt kein Plan was ich für mein "u" bzw. " v' " nehmen soll :)
partielle-integration
Gefragt
3 Feb 2014
von
Gast
📘 Siehe "Partielle integration" im Wiki
1
Antwort
+
0
Daumen
\cal{}
W
a
¨
hle
u
(
x
)
=
sin
3
x
und
v
′
(
x
)
=
sin
x
.
Dann ist
\text{Wähle }u(x)=\sin^3x\text{ und }v'(x)=\sin x.\text{ Dann ist}
W
a
¨
hle
u
(
x
)
=
sin
3
x
und
v
′
(
x
)
=
sin
x
.
Dann ist
u
′
(
x
)
=
3
sin
2
x
cos
x
und
v
(
x
)
=
−
cos
x
und
u'(x)=3\sin^2x\cos x\text{ und }v(x)=-\cos x\text{ und}
u
′
(
x
)
=
3
sin
2
x
cos
x
und
v
(
x
)
=
−
cos
x
und
∫
sin
4
x
d
x
=
−
sin
3
x
cos
x
+
∫
3
sin
2
x
cos
2
x
d
x
=
−
sin
3
x
cos
x
+
3
∫
sin
2
x
(
1
−
sin
2
x
)
d
x
=
−
sin
3
x
cos
x
+
3
∫
sin
2
x
d
x
−
3
∫
sin
4
x
d
x
⇔
4
∫
sin
4
x
d
x
=
−
sin
3
x
cos
x
+
3
2
(
x
−
sin
x
cos
x
)
⇔
∫
sin
4
x
d
x
=
3
8
x
−
1
4
sin
3
x
cos
x
−
3
8
sin
x
cos
x
.
\begin{array}{lrl}&\int\sin^4x\mathrm dx&=-\sin^3x\cos x+\int3\sin^2x\cos^2x\mathrm dx\\&&=-\sin^3x\cos x+3\int\sin^2x(1-\sin^2x)\mathrm dx\\&&=-\sin^3x\cos x+3\int\sin^2x\mathrm dx-3\int\sin^4x\mathrm dx\\\Leftrightarrow&4\int\sin^4x\mathrm dx&=-\sin^3x\cos x+\frac32(x-\sin x\cos x)\\\Leftrightarrow&\int\sin^4x\mathrm dx&=\frac38x-\frac14\sin^3x\cos x-\frac38\sin x\cos x.\end{array}
⇔
⇔
∫
sin
4
x
d
x
4
∫
sin
4
x
d
x
∫
sin
4
x
d
x
=
−
sin
3
x
cos
x
+
∫
3
sin
2
x
cos
2
x
d
x
=
−
sin
3
x
cos
x
+
3
∫
sin
2
x
(
1
−
sin
2
x
)
d
x
=
−
sin
3
x
cos
x
+
3
∫
sin
2
x
d
x
−
3
∫
sin
4
x
d
x
=
−
sin
3
x
cos
x
+
2
3
(
x
−
sin
x
cos
x
)
=
8
3
x
−
4
1
sin
3
x
cos
x
−
8
3
sin
x
cos
x
.
Beantwortet
3 Feb 2014
von
Gast
Ein anderes Problem?
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