Untersuchung von Folgen auf Konvergenz

Question

Ich habe Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe und komme einfach nicht weiter. Ich hoffe jemand kann mir hier helfen.

Vielen Dank im Voraus.

Untersuchen Sie die Folgen mit den Gliedern
(a) \( a_{n}=\left(1+\left(\frac{1-i}{2}\right)^{n}\right) \cdot\left(2-\frac{3 n^{2}+2 i}{(2 n+1)^{2}}\right) \)

(b) \( b_{n}=\frac{n^{4}-2 i}{n^{2}+4}+\frac{n^{3}\left(3-n^{2}\right)}{n^{3}+1} \)

(c) \( c_{n}=\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \)

(d) \( \quad d_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\left(\begin{array}{c}n \\ n-2\end{array}\right) \)

auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert für \( n \rightarrow \infty \). In (d) sei \( n \geq 2 \).

Answer 1

Bei c) vielleicht so

\(  \sqrt{n} \cdot (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})  = \frac{\sqrt{n} \cdot (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})}{1}\)

Erweitern gibt

\( =   \frac{\sqrt{n} \cdot (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{1 \cdot(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}  =  \frac{\sqrt{n} \cdot (n+1 - n )}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}  =  \frac{\sqrt{n} }{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \)

Kürzen mit √n gibt

\(  =  \frac{ 1}{   \frac{\sqrt{n+1}}{ \sqrt{n}}+1} \)

Also ist der Grenzwert 1/2.