Angenommen der Induktionsschritt einer Aussage kann für alle n ∈ N außer für n = 17 gezeigt werden – was bedeutet das?

Question

Aufgabe:

Angenommen der Induktionsschritt einer Aussage kann für alle n ∈ N außer für n = 17 gezeigt werden – was bedeutet das? Kann die Aussage dennoch für alle n gelten? Warum (nicht)?

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand seine Ideen damit teilen.

Ich bin noch etwas unsicher wie man sowas "beweisen" kann.

Wie findet man raus, ab welchem Startwert der Induktionsschritt gilt?

Answer 1

"Angenommen der Induktionsschritt einer Aussage kann für alle n ∈ N außer
für n = 17 gezeigt werden – was
bedeutet das? Kann die Aussage dennoch für alle n gelten?"

Es besteht die Frage, ob das "Nicht gezeigt werden Können" daran liegt, dass die

verwendete Methode scheitert, oder wirklich daran, dass die Implikation

\(A(17)\Rightarrow A(18)\) falsch ist. Gilt nun aber \(A(n)\) für alle nat. Zahlen \(\geq 1\), so auch

\(A(18)\), d.h. die rechte Seite der Implikation ist wahr, also ist die Implikation wahr.

Unter dem Strich ist also bei genereller Gültigkeit der induktionsschritt

immer möglich, auch wenn man nicht weiß, wie man ihn durchführen soll.

Ist \(A(18)\) hingegen falsch und \(A(17)\) wahr, dann bricht die Induktion ab.

(Und kann dann mit \(n=18\) möglicherweise wieder aufgenommen werden).

Answer 2

Angenommen der Induktionsschritt einer Aussage kann für alle n ∈ N außer für n = 17 gezeigt werden, dann wähle ich als Induktionsanfang n=18. Da der Induktionsschritt für alle n ∈ N außer für n = 17 gezeigt wurde, gilt die Aussage mit n=18 auch für n+1=19 und mit n=19 auch für n+1=20 und so weiter und so weiter. Also gilt die Aussage für alle n>17. Die Aussage gilt mit ähnlicher Argumentation auch von n=1 bis n=16.

Ich habe allerdings meine Zweifel, ob es eine derartige Aussage überhaupt gibt.