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Aufgabe

Zeigen Sie, dass die Reihe konvergiert und geben Sie den Reihenwert an.


\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\sum \limits_{k=1}^{n} 2^{-n-k}\right) \)


Problem/Ansatz


Ich weiß überhaupt nicht, wie man da vorgehen soll. Was muss ich da machen? Wie sieht das Resultat aus? Wie geht man vor?


Ich wäre für jede Hilfe dankbar.

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2 Antworten

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Beste Antwort

Ok. Die innere Summe:

\(s_n:=\sum_{k=1}^n2^{-n-k}=2^{-n-1}\sum_{k=0}^{n-1}(1/2)^k\).

Jetzt die Formel für den Wert einer geometrischen Summe verwenden:

\(\sum_{k=0}^{n-1}(1/2)^k=\frac{1-(1/2)^n}{1-1/2}\).

Dann hast du:

\(s_n=(1/2)^{n+1}\cdot \frac{1-(1/2)^n}{1-1/2}=(1/2)^n-(1/2)^{2n}=(1/2)^n-(1/4)^n\)

Avatar von 29 k
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Wende zweimal die Formel für die geometrische Reihe an.

Avatar von 39 k

Die innere Summe ist keine Reihe !

Ich meine: keine unendliche geometrische Reihe ...

Aber eine endliche geometrische Reihe bzw. die n-te Partialsumme.

Ja, so kann man das sagen.
Wäre interessant zu sehen, was DizzySailor als Wert der inneren
Summe herausbekommt !

Ich verstehe nur Bahnhof...

Kennst Du denn die geometrische Reihe? Wenn nicht, schau in Wikipedia nach.

Und die äußere Summe gibt dann

$$ \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} - 1 - \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} - 1 \right) = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3} $$

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