Zeigen Sie, dass die Reihe konvergiert und geben Sie den Reihenwert an.

Question

Aufgabe

Zeigen Sie, dass die Reihe konvergiert und geben Sie den Reihenwert an.

$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\sum \limits_{k=1}^{n} 2^{-n-k}\right)$

Problem/Ansatz

Ich weiß überhaupt nicht, wie man da vorgehen soll. Was muss ich da machen? Wie sieht das Resultat aus? Wie geht man vor?

Ich wäre für jede Hilfe dankbar.

Answer 1

Ok. Die innere Summe:

$s_n:=\sum_{k=1}^n2^{-n-k}=2^{-n-1}\sum_{k=0}^{n-1}(1/2)^k$.

Jetzt die Formel für den Wert einer geometrischen Summe verwenden:

$\sum_{k=0}^{n-1}(1/2)^k=\frac{1-(1/2)^n}{1-1/2}$.

Dann hast du:

$s_n=(1/2)^{n+1}\cdot \frac{1-(1/2)^n}{1-1/2}=(1/2)^n-(1/2)^{2n}=(1/2)^n-(1/4)^n$

Answer 2

Wende zweimal die Formel für die geometrische Reihe an.

Comments

Die innere Summe ist keine Reihe !

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Ich meine: keine unendliche geometrische Reihe ...

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Aber eine endliche geometrische Reihe bzw. die n-te Partialsumme.

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Ja, so kann man das sagen.
Wäre interessant zu sehen, was DizzySailor als Wert der inneren
Summe herausbekommt !

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Ich verstehe nur Bahnhof...

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Kennst Du denn die geometrische Reihe? Wenn nicht, schau in Wikipedia nach.

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Und die äußere Summe gibt dann

$$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} - 1 - \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} - 1 \right) = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$$