Aufgabe:
Sei M eine Menge.
zz: Es gibt keine surjektive Abbildung von M nach Pot(M), wenn M endlich ist
Problem/Ansatz:
Ich definiere ersteinmal die Abbildung f als $$f: M \rightarrow Pot(M)$$
Die Surjektivität besagt, dass jemden Element aus dem Wertebereich auch ein Element auf dem Definitionsbereich zugeordnet wird, also jedes $$y \in Y$$ ein Urbild hat.
Sei jetzt einfach mal $$M= \{ 1,2 \}$$, dann ist die $$Pot(M)= \{ \{ \}, \{1 \}, \{2 \}, \{1,2 \} \}$$, dann würde gelten:
$$f: \{ 1,2 \} \rightarrow \{ \{ \} \{1 \}, \{2 \}, \{1,2 \} \}$$
Da sieht man ja eig schon, dass die Surjektivität nicht ganz hinhauen kann, weil z.B. die leere Menge bzw. $$ \{ 1,2 \}$$ kein Urbild haben. Wie kann ich sowas mathematischer und vor allem allgemein ausdrücken?
Zusatz: Ich darf die Menge die in dieser Frage: https://www.mathelounge.de/486539/beweis-dass-es-keine-surjektive-abbildung-f-x-p-x-gibt bereits angeführt wurde explizit NICHT benutzen. D.h. ich darf mit Hilfe von $$Y:= \{x \in X: x \not\in f(x)$$ die Aussage nicht einfach zum Wiederspruch führen.
