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Vielleicht kann mir jemand bei folgender Frage helfen:

Sei \( X \) eine Menge. Beweisen Sie, dass es keine surjektive Abbildung \( f:X\to P(X) \) gibt. Hinweis: Verwenden Sie die Menge \( Y :=  \{ x \in X:x \not\in f(x) \}\) für die Formulierung eines geeigneten Widerspruchsbeweises.

von 286 k

Vom Duplikat:

Titel: Surjektive Abbildung einer Menge M mit Potenzmenge P(M)

Stichworte: surjektiv,abbildung,beweis

Ich komme nicht weiter. Folgende Frage:

Sei M eine Menge. Beweisen sie, dass es keine surjektive Abbildung f : M→P(M) gibt.

Hinweis: Betrachten Sie: x ist element M, x ist nicht element f(x).

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen sie, dass keine surjektive Abbildung von einer Menge in ihre Potenzmenge existiert.

Stichworte: surjektiv,potenzmenge

Zeigen sie, dass keine surjektive Abbildung von einer Menge in ihre Potenzmenge existiert.

Hinweis: Widerspruchsbeweis! Nehmen sie an, es gebe eine surjektive Abbildung

M → P (M)

und betrachten sie dann die Menge

A = {a ∈ M | a ∉ f (a) }.

2 Antworten

+2 Daumen
 
Beste Antwort

Sei x ∈ X mit f(x) = Y (ein solches x existiert wenn f surjektiv ist).

Angenommen x ∈ f(x). Laut Definition von Y ist dann x∉Y. Wegen Y = f(x) ist dann x∉f(x). Das widerspricht der Annahme x ∈ f(x).

Angenommen x ∉ f(x). Laut Definition von Y ist dann x∈Y. Wegen Y = f(x) ist dann x∈f(x). Das widerspricht der Annahme x ∉ f(x).

Weil sowohl die Annahme x ∈ f(x), als auch die Annahme x ∉ f(x) zu einem Widerspruch führen, muss schon die Annahme, es existiere ein x ∈ X mit f(x) = Y falsch gewesen sein.

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Die Frage war neulich schon mal da. Hier noch mal meine Antwort:

Sei  f eine surjektive Abb von X nach P(X).

Diese Annahme wird zu einemWiderspruch geführt:

Bilde die Menge M aller a aus X, die nicht in f(a) enthalten sind.

Wegen der Surjektivität hat M ein Urbild, nenne es b.

Ist nun b ein Element von M ?

Wäre es so, dann würde nach Def. von M gelten b nicht in f(b).

Aber f(b)=M, also b nicht in M.

Andererseits folgt aus b nicht in M, dass nach Def. von M 

b ein Element von M ist. etc.

Also gibt es keine surjektive Abb.
von 166 k

Durch welche Überlegung kommt man darauf die Menge M zu bilden, bzw. was erlaubt einem dieses Vorgehen? Dies ist das einzige das mir an diesem Beweis noch nicht klar ist, und ich hoffe wirklich, dass mich jemand in dieser Hinsicht erleuchten kann.

Menge bilden ist ja erlaubt.

Dass man ausgerechnet mit dieser Menge einen

Widerspruch erzeugen kann, habe ich auch mal

irgendo gelernt. Steht bestimmt auch irgendwo im Netz.

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