u,v,w linear unabhanige Vektoren

Question

Aufgabe:

Es seien u, v, w drei linear unabhangige Vektoren in Qⁿ. Zeigen Sie, dass

a) u + v + w, u − v − w, und u − 2v + 2w linear unabhangig sind.

Problem/Ansatz:

Ich weiss, das gelten muss wenn die fatkoren mit denen man sie berechnet gleich null sein muessen im Gleichungssystem aber.

Aber ich weiss nicht wie ich dies konkret zeigen soll.

Answer 1

Hallo :-)

Betrachte doch

$$ \begin{aligned}0&=\alpha\cdot (u+v+w)+\beta\cdot (u-v-w)+\gamma\cdot (u-2v+2w)\\[10pt]&=\underbrace{(\alpha+\beta+\gamma)}_{=0}\cdot u+\underbrace{(\alpha-\beta-2\gamma)}_{=0}\cdot v+\underbrace{(\alpha-\beta+2\gamma)}_{=0}\cdot w \end{aligned}$$

Löse also:

\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&-1&-2\\1&-1&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)

bzw.

\(\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&0\\1&-1&-2&0\\1&-1&2&0\end{array}\right)\)