Zeigen Sie: Eine Rechtsinverse von A existiert genau dann, wenn Rang(A) = n gilt.

Question

Aufgabe:

Sei A ∈ Kn×m. Eine Matrix Aˆ ∈ K^m×n heißt Rechtsinverse von A, falls gilt AAˆ = I_n.

a) Zeigen Sie: Eine Rechtsinverse von A existiert genau dann, wenn Rang(A) = n gilt.

1. Ist irgendeine Wahl von k Zeilen von A linear unabhangig, so ist Rang A ≥ k.
2. Ist jede Wahl von k Zeilen von A linear abhangig, so ist Rang A < k.

Answer 1

Man nehme an $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n, m}$. Sei $L$ die lineare Abbildung, welche durch die Matix $\mathbf{A}$ dargestellt wird. Dann gilt $L_{1}: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ und somit $\operatorname{Im}(\mathbf{A})=\mathbb{R}^{n}$. Sei des weitern $L_{2}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ die zu $\overline{\mathbf{A} }$ gehörende lineare Abbildung (sie muss injektiv sein). Wenn $\operatorname{rank}(\mathbf{A})=n$, so ist $L_{1}$ surjektive, da $\operatorname{Im}\left(\mathbb{R}^{n}\right) .$ Damit ist dann
$L_{1} \circ L_{2}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$
bijektiv (wenn $L_2$ entsprechend ist, es muss nämlich ich eine Teilmenge $W \subseteq\mathbb{R}^m$ abbilden mit $L_1(W)=\mathbb{R}^n$). Wenn nun $\operatorname{rank}(\mathbf{A})<n$ so ist $L_{1}$ nicht surjektiv und somit kann
$L_{1} \circ L_{2}$
nicht bijektiv sein.

Comments

Was ist L1 genau, und woher kommt das A^T?

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Die Matrix A stellt ja eine (lineare) Abbildung dar und diese Abbildung habe ich mit L1 bezeichnet (wenn du irgendeinen Vektor an die Matrix ranmultiplizierst kriegst du ja einen neuen Vektor raus). Das A strich ist das Aˆ in deiner Frage